Algebraic development of topology around Riemann surfaces

Research Project

Project/Area Number	23K22391
Project/Area Number (Other)	22H01120 (2022-2023)
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
Allocation Type	Multi-year Fund (2024) Single-year Grants (2022-2023)
Section	一般
Review Section	Basic Section 11020:Geometry-related
Research Institution	The University of Tokyo
Principal Investigator	河澄響矢東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (30214646)
Project Period (FY)	2022-04-01 – 2026-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2024)
Budget Amount *help	¥16,900,000 (Direct Cost: ¥13,000,000、Indirect Cost: ¥3,900,000) Fiscal Year 2025: ¥5,200,000 (Direct Cost: ¥4,000,000、Indirect Cost: ¥1,200,000) Fiscal Year 2024: ¥3,640,000 (Direct Cost: ¥2,800,000、Indirect Cost: ¥840,000) Fiscal Year 2023: ¥5,330,000 (Direct Cost: ¥4,100,000、Indirect Cost: ¥1,230,000) Fiscal Year 2022: ¥2,730,000 (Direct Cost: ¥2,100,000、Indirect Cost: ¥630,000)
Keywords	リーマン面 / ループ演算 / 亜群 / タイヒミュラー空間 / ジョンソン準同型 / トゥラエフ余括弧積 / フェンチェル-ニールセン座標 / 基本亜群 / 写像類群 / ねじれ係数コホモロジー / 組紐群 / トレミー亜群
Outline of Research at the Start	リーマン面(すなわち複素構造をもつ曲面)の位相幾何学的(トポロジカルな)研究にともなって現れる様々な代数構造を解析し、それらを通じて(曲面上の複素構造を過不足なくパラメトライズする空間である)リーマン面のモジュライ空間の位相構造および(モジュライ空間の位相構造を統制する)写像類群の代数構造の解明を目指す。具体的には、曲面上の高次ループ演算を活用して写像類群のジョンソン準同型を研究する。写像類群のねじれ係数コホモロジーの計算を通して新しい代数構造を見出す。モジュライ空間を組合せ構造を統制するトレミー亜群のコホモロジー的側面の解明や古典/高次タイヒミュラー空間の亜群を用いた具体的な記述を目指す。
Outline of Annual Research Achievements	本研究課題の中心概念の一つである亜群について理解の整理もかねて、令和4年度後期に本務校において4年大学院向けの亜群の講義を実施した。いまのところ Ptolemy 亜群について新しい結果は得られていないが Teichmuller 空間論への応用が見つかった。パンツ曲面上の双曲構造が定める亜群コサイクルである標準コサイクルの概念を発見した。標準コサイクルはパンツの境界の測地長函数で完全に書き下すことができ、パンツ分解にともなう Fenchel-Nielsen 座標も自然に現れる。応用として、Weil-Petersson Kahler 形式を Fenchel-Nielsen 座標で表示する Wolpert の公式の位相的別証明が得られた。ループ演算については、前課題 19H01784 で共同研究者久野雄介と発見し整理を行った secondary Turaev 余括弧積の積公式の定式化を目指した。しかし、満足できる形はまだ得られていない。副産物として 2つの基点つきループのホモトピー交叉形式の secondary 演算が発見できた。共同研究者 Christine Vespa と組紐群のねじれ係数コホモロジーの計算を行った。目標とするオペラド構造の発見には至っていない。前課題 19H01784 から引き続き Arthur Soulie との共同研究で曲面の単位接束のホモロジー群およびその外積に係数をもつ写像類群のねじれ安定コホモロジー群のTor 群の計算を行った。その複雑性から5次外積が我々の限界であり、そこまで計算が終わっている。しかし、計算チェックに多大の労力と時間がかかっており、23年度にも延長されている。成果の一部はプレプリント arXiv: 2211.02793 として公開している。研究集会「葉層構造論シンポジウム」と「葉層構造の幾何学とその応用」を共催した。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 積み残した課題は多いが、一方で、パンツの双曲構造の標準コサイクルや secondary なホモトピー交叉形式など新たな発見もある。
Strategy for Future Research Activity	積み残した課題を着実にこなしていくと同時に、パンツの双曲構造の標準コサイクルの高次タイヒミュラー理論への拡張や secondary なホモトピー交叉形式の詳細な研究など新しい課題にも取り組んでいく。