| Project/Area Number |
23K22394
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| Project/Area Number (Other) |
22H01123 (2022-2023)
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Allocation Type | Multi-year Fund (2024)
Single-year Grants (2022-2023) |
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| Section | 一般 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
加藤 毅 京都大学, 理学研究科, 教授 (20273427)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥15,470,000 (Direct Cost: ¥11,900,000、Indirect Cost: ¥3,570,000)
Fiscal Year 2026: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2025: ¥2,470,000 (Direct Cost: ¥1,900,000、Indirect Cost: ¥570,000)
Fiscal Year 2024: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000)
Fiscal Year 2023: ¥2,470,000 (Direct Cost: ¥1,900,000、Indirect Cost: ¥570,000)
Fiscal Year 2022: ¥3,770,000 (Direct Cost: ¥2,900,000、Indirect Cost: ¥870,000)
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| Keywords | 指数定理 / ゲージ理論 / 非可換幾何幾何学 / サイバーグ・ウィッテン理論 / 微分トポロジー / バウアー・古田理論 / サイバーグ・ウイッテン不変量 / fiber bundle / サイバーグ・ウイッテン理論 / 非コンパクト多様体 |
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| Outline of Research at the Start |
コンパクト4次元多様体の被覆空間上でモノポール写像の構成を行いさらにその写像度を計算することが目的である。assembly写像とよばれる指数写像はK群の間の写像として与えられ、指数に関する高次の情報を含む。その手法を、被覆空間上のモノポール写像に適用する。古田による10/8予想の証明を、被覆空間上で展開できれば、Singer予想と組み合わせることでaspherical10/8不等式を示すことができることが分かっていた。本研究プロジェクトは、無限被覆空間上でL^2ベッチ数を用いた10/8不等式を導くこと、それを用いてaspherical10/8不等式を導くことが最終的な目標である。
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| Outline of Annual Research Achievements |
解析的手法としてはBaraglia-Konno（A gluing formula for families Seiberg-Witten invariants, Geometry and Topology,24-3,1381-1456,2020）が導入した族のmod2 SW理論に、高次元微分トポロジーにおける手術理論の手法を組み合わせる事で実施する。族の4次元多様体は、トータル空間自身は5次元以上なので高次元微分トポロジーの手法が適用できる。今野・中村らとのこれまでの共同研究により、4次元多様体をファイバーとするコンパクトな位相的ファイバー束で、全空間は可微分だがファイバー束として微分構造を許容しない例を構成した。これはコンパクトのケースでは初めての例と思われる。この研究を発展させることで、4次元多様体をファイバーとするコンパクトな可微分ファイバー束の対で、位相的ファイバー束として互いに同型だが、可微分な同型を許容しない例を見つけた。この例も、この成果はProceedings of AMSに出版された。コンパクトのケースでは初めての例と思われる。
次に、サイバーグ・ウイッテン理論におけるsimple type予想は、非自明な不変量を与えるようなモジュライ空間のvirtual 次元に関する非常に一般的かつ難問である。これまでの研究成果として、Nakamura-Yasuiらと、mod2でsimple type予想を広い4次元多様体のクラスに対して示すことができていた。T.Kato, N.Nakamura, K.Yasui, The simple type conjecture for mod 2 Seiberg-Witten invariantsJ. Eur. Math. Soc. 25, 4869-4877 (2023). 今後は、これをmod p versionに拡張することで、mod p simple type予想に挑戦する. 現在のところある程度の成果があるので、さらにそれを発展させていく。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
現在のところ、研究は順調に進展している。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、以下の研究を計画している。
(1) サイバーグ・ウイッテン理論におけるsimple type予想は、モジュライ空間のvirtual 次元に関する非常に一般的かつ難問である。それに対する知見を広めるために、mod pでsimple type予想に挑戦する。
(2) 非コンパクト空間上でのゲージ理論について、計算可能な手法を開発するために、被覆空間上でのl^{\infty}_S値の幾何解析を進展させる。
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