Global analysis for nonlinear dispersive equations

• Project/Area Number: 23K22403
• Project/Area Number (Other): 22H01132 (2022-2023)
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Multi-year Fund (2024); Single-year Grants (2022-2023)
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 中西 賢次 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (40322200)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 岸本 展 京都大学, 数理解析研究所, 講師 (90610072)
• Project Period (FY): 2022-04-01 – 2027-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2024)
• Budget Amount: ¥9,100,000 (Direct Cost: ¥7,000,000、Indirect Cost: ¥2,100,000); Fiscal Year 2026: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000); Fiscal Year 2025: ¥1,950,000 (Direct Cost: ¥1,500,000、Indirect Cost: ¥450,000); Fiscal Year 2024: ¥2,080,000 (Direct Cost: ¥1,600,000、Indirect Cost: ¥480,000); Fiscal Year 2023: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000); Fiscal Year 2022: ¥2,080,000 (Direct Cost: ¥1,600,000、Indirect Cost: ¥480,000)
• Keywords: 非線形分散型方程式 / ソリトン / 解の爆発 / 散乱理論 / 非線形共鳴

Outline of Research at the Start

非線形分散型方程式とは、相互作用と分散性を持つ様々な波動の時間発展を記述する偏微分方程式である。その解の時空大域挙動に関する研究は、ソリトン分解予想の幾つかの方程式に対する解決や、運動論的方程式による非線形共鳴の長時間近似など、近年急速に進展しているが、未解決の課題も多い。特に、ソリトン分解が不安定なソリトンで構成される場合、初期値や途中過程との関係が漸近表示からは分からない。本研究では、時間・初期値・方程式などの変化に応じた解の遷移に注目し、その漸近挙動だけでなく全体像を捉え、更に解の集合についても全体的な描像を目指す。また、非線形性と大域分散性の強弱関係に依る解の差異や共通点を追及する。

Outline of Annual Research Achievements

消散性非線形 Klein-Gordon 方程式について、複数の基底状態の重ね合わせから出発する解の大域挙動を調べ、ソリトンの動きを制限する有限次元対称性の下で、解挙動の初期値に対する部分的な分類を与えた。更に、解析の要である多重ソリトン周りの線形化方程式に対するソリトン間相互作用の影響について、ソリトンの重ね合わせに修正近似を施すことで、時間の可積分性を改善できることを見出した。一般の多重ソリトン近傍の場合、ソリトンの融合する場合が重大な困難点だが、上記の結果はその解析への手がかりとなることが期待される。さらに、消散性非線形波動方程式でエネルギー臨界指数の場合について、エネルギーノルムが有界な解の時間挙動を調べ、空間次元が高くて解が球対称であれば、消散性が無い場合と同様に漸近的なソリトンへの分解が起こることを示した。
また、フェルミ粒子系に対する平均場近似としての無限次元連立 Hartree 方程式を作用素の形で解析し、Schatten クラスの初期値に対して、スカラー・有限次元系やトレースクラスと類似の手法が使えるように、Duhamel 積分とそのレゾルベントを用いた定式化を行い、更にその時空作用素に対して双対性評価を自動的に移行させる Christ-Kiselev の補題を Schatten クラスへ拡張した。更にこれらを用いて、質量劣臨界 Riesz ポテンシャルの場合について、初期値問題が適切となる Schatten 指数をほぼ完全に決定した。これらは無限次元系に対する大域挙動の解析・分類へ向けた出発点になる。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

解析手法の深化と幾つかの継続的な成果は挙げられているが、画期的な進展や発見と言える程のものが無い。既存の枠組みを超える方向性が進んでいない。

Strategy for Future Research Activity

時空上に複数のソリトンが現れる場合の時間大域挙動の解析・分類、複数の不安定ソリトンが共存する過渡的発展の研究および、大域分散性が弱い場合と分散型方程式以外への拡張を課題・目標として研究を進める。特に、大域挙動解析の既存の枠組みを超えるため、海外研究者を含め分散型以外の研究者からも積極的に情報を取り入れる。

Research Products

• [Int'l Joint Research] University of Science and Tech. of China(中国)
• [Journal Article] Global Dynamics Around 2-Solitons for the Nonlinear Damped Klein-Gordon Equations (2022)
  • Author(s): Ishizuka Kenjiro、Nakanishi Kenji
  • Journal Title: Annals of PDE Volume: 9 Issue: 1
  • DOI: 10.1007/s40818-022-00128-3
  • Peer Reviewed / Open Access
• [Presentation] Optimal wellposedness for the Hartree equation in the Schatten class (2023)
  • Author(s): Kenji Nakanishi
  • Organizer: MATRIX-RIMS Tandem Workshop: Geometric Analysis in Harmonic Analysis and PDE
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Global dynamics around and away from solitons (2022)
  • Author(s): Kenji Nakanishi
  • Organizer: International Congress of Mathematicians 2022
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Global dynamics around multi-solitons for nonlinear Klein-Gordon equations (2022)
  • Author(s): Kenji Nakanishi
  • Organizer: Mathematical Analysis of Nonlinear Dispersive and Wave Equations
  • Invited
• [Presentation] On the Hartree equation in the Schatten class (2022)
  • Author(s): Kenji Nakanishi
  • Organizer: The 19th Linear and Nonlinear Waves
  • Invited
• [Funded Workshop] Kyoto-CAU Joint Meeting on Nonlinear PDEs (2023)
• [Funded Workshop] Workshop on Variational Methods and Dispersive Equations (2023)