代数多様体のK安定性理論とArakelov幾何学

• Project/Area Number: 23K25766
• Project/Area Number (Other): 23H01069 (2023)
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Multi-year Fund (2024); Single-year Grants (2023)
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 尾高 悠志 京都大学, 理学研究科, 准教授 (30700356)
• Project Period (FY): 2023-04-01 – 2028-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2024)
• Budget Amount: ¥16,120,000 (Direct Cost: ¥12,400,000、Indirect Cost: ¥3,720,000); Fiscal Year 2027: ¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000); Fiscal Year 2026: ¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000); Fiscal Year 2025: ¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000); Fiscal Year 2024: ¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000); Fiscal Year 2023: ¥3,640,000 (Direct Cost: ¥2,800,000、Indirect Cost: ¥840,000)
• Keywords: Arakelov幾何学 / K安定性 / 標準計量 / 志村多様体 / コンパクト化 / モジュライ空間 / アラケロフ幾何学

Outline of Research at the Start

請者が研究開始初期に携わった複素射影代数多様体のK安定性の双有理的な代数多様体論のアプローチや幾何学的不変指揮論に基づいたモジュライ理論といった一般的な代数幾何学との関連を、より一般的で広いクラ スの偏極つきの多様体に拡張していきながら、非アルキメデス幾何学的取り扱いも発展させ、Arakelov幾何学に基づいた過去に申請者が導入した枠組み(2015年あたりに導入)を利用してよりArakelov幾何学的な設定に拡張しつつ、さらにその様々な数論的な偏極多様体の高さの理論への応用を模索する。

Outline of Annual Research Achievements

2023年度に出版された前田洋太氏との共著論文は、複素数体上の代数多様体、特に偏極つきの高次元の複素数体上アーベル多様体や偏極付きのK3曲面（K3 surface）、正則シンプレクティック複素代数多様体（別称：ハイパーケーラー多様体、ただしそれは付随するケーラー計量をリーマン多様体の圏として考えたもの）のいわゆるモジュライ空間の構成の文脈で、大変よく現れるさまざまな志村多様体のコンパクト化に関わるものであった。その中でも特にその佐武-Baily-Borelコンパクト化の（非対数的な意味での）双有理的なクラス、そうした問題の核である標準因子の正値性について、特殊で鏡映的な保形形式の存在問題の応用をもたらすという類のものである。古典的な研究の背景のある話であって小平次元への応用などは多くの研究があったが、それを特異性をより気にしない形で再定式化するモンドエアル。論文の中では実際に多くのモジュライ空間の例について当てはまられることをBorcherds, 吉川氏などの構成された無限積型の保形形式の存在から帰結し、さまざまな代数幾何的なモジュライ空間の例と整合性がとれることも確認した。またそれらの研究のもう一方では、Tian-Yauやさまざまな重力インスタントンの例はあるとはいえ、従来にはあまり代数幾何的な面ないし存在問題の観点からは論じられることのほとんどなかった、非コンパクト代数多様体上の完備リッチ平坦なケーラー多様体、とそれを与える標準計量存在問題について解を与えると期待される、申請者が以前（2020年度）に導入した開K-準安定性（および開K-半安定性）とそれについての漸近挙動にまつわる理論面についての進展があった。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

出版された論文の数だけ見ると少なかったと言える。とはいえ、その一方で、まずこの出版論文の研究は実際には2021年度に行われるものであった。このように出版までに時差があることを考える必要がある。そのような観点から鑑みると、2023年度は、非コンパクトな正規擬射影的な複素代数多様体の上の開リッチ平坦ケーラー計量の存在や構成の問題についての理解の進展少々があり、とりわけ非アルキメデス的な扱いにつながるものであったために今後の当該テーマのさらに広いクラスへの代数多様体の上の理論の理解の進展につながる成果として理解できる。

Strategy for Future Research Activity

今年度は（直接的にこの科研費のことではないが）国際共同加速基金を用いたフランス・パリおよびアメリカ・バークレーへの中期滞在が予定されているため、その間接的な影響は期待される。それらによってもたらされる知見によって、当該基盤Bの研究テーマの核であるArakelov幾何学的な数論的Yau-Tian-Donaldson予想の進展について、そちらの国際共同研究で得られる解析的な成果の類似を辿るという形で良い形で間接的に影響されると期待される。その一方で枠組みの対数的な拡張や開多様体の場合への拡張も検討する予定である。

Research Products

• [Journal Article] Fano Shimura varieties with mostly branched cusps (2023)
  • Author(s): Yota Maeda, Yuji Odaka
  • Journal Title: Springer Proceedings in Mathematics & Statistics(PROMS) Volume: 409 Pages: 633-664
  • Peer Reviewed
• [Presentation] A survey on developments around K-stability I, II (2023)
  • Author(s): Yuji Odaka
  • Organizer: 第２９回複素幾何シンポジウム（金沢）２０２３
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Non-archimedean and Arakelov aspect of Kahler-Einstein metrics and applications to moduli space, Asymptotic behavior of Calabi-Yau metrics and hybrid-type moduli compactification (2023)
  • Author(s): Yuji Odaka
  • Organizer: Workshop on Nonarchimedean Geometry and Related Fields
  • Int'l Joint Research / Invited