Interaction of singularities and number theory

• Project/Area Number: 23K25767
• Project/Area Number (Other): 23H01070 (2023)
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Multi-year Fund (2024); Single-year Grants (2023)
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 安田 健彦 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (30507166)
• Project Period (FY): 2023-04-01 – 2028-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2024)
• Budget Amount: ¥14,170,000 (Direct Cost: ¥10,900,000、Indirect Cost: ¥3,270,000); Fiscal Year 2027: ¥2,860,000 (Direct Cost: ¥2,200,000、Indirect Cost: ¥660,000); Fiscal Year 2026: ¥2,730,000 (Direct Cost: ¥2,100,000、Indirect Cost: ¥630,000); Fiscal Year 2025: ¥3,380,000 (Direct Cost: ¥2,600,000、Indirect Cost: ¥780,000); Fiscal Year 2024: ¥2,080,000 (Direct Cost: ¥1,600,000、Indirect Cost: ¥480,000); Fiscal Year 2023: ¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000)
• Keywords: 特異点 / 整数論 / F爆発 / 非可換特異点解消 / 高次Jacobiイデアル / Manin予想

Outline of Research at the Start

この研究は「特異点と整数論の相互作用」を探究し、新たな知見を生み出すことを目指しています。図形の尖っていたり、自己交叉している特殊な点である特異点と、整数などの性質を扱う整数論を関連付けようとする研究です。より具体的には、「野性McKay対応」、「モチーフ積分」、「Batyrev-Manin予想」などのテーマを扱い、特異点理論と整数論の接点を追求します。共同研究者との協力を通じて、複数のテーマを同時進行し、幅広い視点からアプローチします。

Outline of Annual Research Achievements

2023年度に4本のプレプリントをarXivで公開した。いずれも国際共同研究である。1本目はChavez-Martinez氏とDuarte氏との共同研究で、F爆発と本質因子の関係を論じ、トーリック多様体のF爆発に本質因子が現れる十分条件を示した。
2本目はLiedtke氏との共同研究で、正標数における線形簡約商特異点の非可換特異点解消について論じた。正標数には、標数零には存在しない群スキームによる商特異点というものがある。非可換特異点解消などに関する標数零で知られている結果を、このような商特異点に対し証明した。
3本目はLe氏との共同研究で、高次Jacobiイデアルとモティヴィック・ゼータ関数について論じた。高次Jacobiイデアルを用いて定義される不変量が、contact同値で不変なことを示すなどした。
4本目はDarda氏との共同研究で、トーリック・スタックに対するManin予想を証明した。前年度に同じくDarda氏と共同で行った研究において、Deligne-Mumfordスタックに対しBatyrev-Manin予想を定式化し、代数多様体に対するBatyrev-Manin予想とMalle予想を統一する予想を提出していた。今回の結果は、この予想を特別な場合に検証した物である。
また、2023年度中に7回の口頭発表を行った。このうち3回は、国際研究集会での講演である。

Current Status of Research Progress

1: Research has progressed more than it was originally planned.

Reason

例年より多い4本のプレプリントを公開できたので、計画以上の進展と言うことができる。並行して行っていた複数の共同研究が順調に進展し、論文をまとめることができた。また、得られた研究成果を多くの研究集会等で発表することができた。その機会に、多くの研究者と議論することで、今後の研究に有益な情報を収集することができた。

Strategy for Future Research Activity

研究期間中に複数の研究テーマを並行して進めていく予定である。各時点において、どのテーマの進展が見込まれるか、共同研究者のスケジュールなどに応じて、注力するテーマを適切に選びながら、全体として出来るだけ多くの成果を得られることを目指す。
一つ目のテーマは、野性McKay対応のさらなる一般化と、それに関連したArtinスタック上へのモチーフ積分理論の構築である。等標数の有限群作用に関する野性McKay対応や、それに対応するDeligne-Mumfordスタック上のモチーフ積分理論は、研究代表者のこれまでの研究により一般論が構築されている。この方向の研究では、研究室の大学院生に、研究協力者として中心的な役割をになってもらう計画である。
二つ目のテーマはBatyrev-Manin予想とMalle予想に代表される数論統計の分野に、研究代表者による野性McKay対応などの研究で得られた幾何学的知見を応用するというものである。この方向の研究は、主にDarda氏との共同研究として進める計画である。幾何学的な知見から、正標数の野性的な状況に置けるMalle型の予想を定式化し、検証することを目指す。
前述の二つのテーマ以外に、高次Nash爆発やF爆発と本質的因子の関連を調べる研究をChavez-Martinez氏、Durate氏との共同研究において進める予定だ。また、研究室の大学院生にも研究協力者として、この方向の研究を実施してもらうことを計画している。Carvajal-Rojas氏と行っている、弦不変量を用いてログ端末特異点の局所エタール基本群の有限性を示す共同研究も進めて行きたい。

Research Products

• [Int'l Joint Research] バーゼル大学(スイス)
• [Int'l Joint Research] UACJ/UNAM(メキシコ)
• [Int'l Joint Research] Vietnam National University, Hanoi(ベトナム)
• [Int'l Joint Research] ミュンヘン工科大学(ドイツ)
• [Presentation] F-blowups of quotient singularities and toric singularities (2023)
  • Author(s): Takehiko Yasuda
  • Organizer: McKay correspondence, Tilting theory and related topics
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Orbifold pseudo-effective cones (2023)
  • Author(s): Takehiko Yasuda
  • Organizer: Algebraic Geometry in East Asia 2023
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] F-blowups and essential divisors (2023)
  • Author(s): Takehiko Yasuda
  • Organizer: 城崎代数幾何学シンポジウム
  • Invited
• [Presentation] F-blowups of quotient singularities and toric singularities (2023)
  • Author(s): Takehiko Yasuda
  • Organizer: 大阪大学代数幾何学セミナー
  • Invited
• [Presentation] F-blowups and essential divisors (2023)
  • Author(s): Takehiko Yasuda
  • Organizer: Topology of Singularities and Related Topics
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] F-blowups and essential divisors (2023)
  • Author(s): Takehiko Yasuda
  • Organizer: 名古屋大学代数幾何セミナー
  • Invited