Evolution of Combinatorial Coding Theory

Research Project

Project/Area Number	23K25784
Project/Area Number (Other)	23H01087 (2023)
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
Allocation Type	Multi-year Fund (2024) Single-year Grants (2023)
Section	一般
Review Section	Basic Section 12030:Basic mathematics-related Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related Sections That Are Subject to Joint Review: Basic Section12030:Basic mathematics-related , Basic Section12040:Applied mathematics and statistics-related
Research Institution	Tohoku University
Principal Investigator	原田昌晃東北大学, 情報科学研究科, 教授 (90292408)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	新谷誠静岡大学, 情報学部, 教授 (70303526) 大浦学金沢大学, 数物科学系, 教授 (50343380) 宗政昭弘東北大学, 情報科学研究科, 教授 (50219862)
Project Period (FY)	2023-04-01 – 2028-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2024)
Budget Amount *help	¥16,120,000 (Direct Cost: ¥12,400,000、Indirect Cost: ¥3,720,000) Fiscal Year 2027: ¥2,600,000 (Direct Cost: ¥2,000,000、Indirect Cost: ¥600,000) Fiscal Year 2026: ¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000) Fiscal Year 2025: ¥4,290,000 (Direct Cost: ¥3,300,000、Indirect Cost: ¥990,000) Fiscal Year 2024: ¥2,990,000 (Direct Cost: ¥2,300,000、Indirect Cost: ¥690,000) Fiscal Year 2023: ¥3,120,000 (Direct Cost: ¥2,400,000、Indirect Cost: ¥720,000)
Keywords	自己双対符号 / 線形補双対符号 / 組合せデザイン / アダマール行列
Outline of Research at the Start	研究代表者の所属する東北大学大学院情報科学研究科では、情報科学を基礎とした学際研究が活発に行われており、次世代の情報化社会の基盤技術の開発も一つのテーマになっている。そのような環境にいることから、１０年先の実用化技術となりうる次世代の計算機や（量子）暗号などの基礎理論としての符号理論の構築が必須であることを感じている。これまでの研究で扱っている対象に加え、組合せ構造との新たな関連を確立させたり、未だ発展途上であり大きな可能性を秘めている他の分野との関連に着目したself-dual code を主とした研究により、さらに視野を拡げて組合せ論的符号理論の総合的な発展を目指す。
Outline of Annual Research Achievements	数学的符号理論において古くから活発に研究が行われているself-dual code の研究を、designなどの様々な組合せ構造、整数論の対象でもあるunimodular lattice などとの関連を重視し組合せ論的なアプローチを中心に幅広く数学的符号理論の研究を行うことを本研究課題の主目的としている。今年度は、特に、組合せ構造の一つであるアダマール行列と self-dual code についての新たな関連を構築することが出来た。アダマール行列の研究にこれまで以上 ternary self-dual code が役立つことを示唆することが出来た。アダマール行列の部分的な分類結果も得られた。また 2014 年に新たに暗号理論への応用が見つかり、その後、活発に研究が行われているLCD（linear complementary dual）code についても本研究の研究対象としており、今年度は、活発に研究を行った。また、数学的符号理論とは異なる手法での研究が行われている情報理論での符号理論への関連や新たな応用が期待される量子符号に着目して、数学的符号理論の新展開を目指し、組合せ論的なアプローチを中心に総合的な研究を行った。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 研究実績の概要の欄で述べた通り、LCD （linear complementary dual）code は Massey によって1996 年に導入されたクラスであるが、2014 年に Carlet-Guilley によって暗号理論への新たな応用が新たに見つかった。そのこともあり、数学的な基礎研究だけでなく情報通信への新たな応用の発見など、非常に活発に研究が行われているcode のクラスである LCD code はその定義からself-dual code とは対局にあるcode のクラスとも見られるが、一部の有限体上ではmass formula（code の個数の決定）が確立されているなど共通点もある。self-dual code との共通点に着目しながらこれまでに行ってきたself-dual code の研究成果を発展させることでLCD code の研究を行った。すでに成果を得ているLCDcode に関する研究での成果を基盤に、LCD code の特徴づけを行うことで、分類問題に貢献できた。また、LCD code と他の組合せ構造の関連の構築を試みた。LCD code および関連した code については、現在、国際的に研究が行われている活発な研究対象であるので、その流れに乗り遅れず LCD code に関する研究に取り組めていることから順調に進展していると言える。また、組合せ構造の一つであるアダマール行列と ternary self-dual code についての新たな関連を構築することが出来た。今後、アダマール行列の研究にこれまで以上 ternary self-dual code が役立つことを示唆することが出来た。アダマール行列の部分的な分類結果も得られた。
Strategy for Future Research Activity	本研究課題は５年の研究期間であり、そのうちの１年目を終えた段階であるが、本研究課題のメインの研究対象 self-dual code の研究に加えて、LCD code に関する成果が想定以上に得られている。また、アダマール行列と ternary self-dual code との関連についての結果も得られており、順調な研究が進められていると判断している。今後は、さらに視野を拡げて組合せ論的符号理論の総合的な発展を目指す。