| Project/Area Number |
23KJ0341
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| Research Category |
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 国内 |
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| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
森村 勇人 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2023-04-01 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥3,900,000 (Direct Cost: ¥3,000,000、Indirect Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2025: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
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| Keywords | ホモロジー的ミラー対称性 / 導来圏 / 巻深谷圏 / カラビヤウ多様体 / Weinstein多様体 / 圏論的生成ファイバー / Weinstein扇状被覆 / SYZファイブレ－ション |
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| Outline of Research at the Start |
ホモロジー的ミラー対称性予想(HMS)は複素幾何とシンプレクティック幾何の神秘的な関係の圏論的定式化である。弦理論の観点からHMSにB場の作用を組込む必要があるが、未だに満足な数学的定式化は得られていない。本研究はBrauer群とHMSの関係を調べることでB場の作用を組み込む手掛かりを得ることを目指す。具体的にはBrauer-Severi(BS)多様体に対するHMSの確立する。Brauer類の(0,2)成分はしばしばB場を定め、BS多様体はBrauer類により射影空間を捩じったものである。我々は既に確立されている射影空間のHMSをBrauer類により捩じることを数学的に定式化したい。
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の最終目標はBrauer--Severi多様体に対するホモロジー的ミラー対称性(HMS)を確立することである。関連してBrauer群と導来圏の関係(A)および深谷圏の貼り合わせ(B)に習熟し、多角的な視点を養うことが有用であると思われる。前者と後者に関してそれぞれ3本ずつの論文を執筆し、そのうちの4本は国際学術誌に投稿中である。残りも微調整の後に投稿予定である。
A1.代数多様体の族の圏論的生成ファイバーを導入し、応用として導来同値の特殊化を示した。A2.滑らかな固有代数多様体の導来同値はフーリエ向井変換であるという結果をBrauer類で導来圏を捻った場合に拡張した。応用としてAzumaya多様体の導来同値の特殊化を示した。A3.一般3次元楕円カラビヤウ多様体が底空間上線形な導来圏から付随するBrauer群の商を除いて復元できることを示した。応用としてKnapp-Scheidegger-Schimannekが構成した12対の一般3次元楕円カラビヤウ多様体がそれぞれ相対ヤコビアンを共有し、導来同値であることを示した。
B1.SISSAのNicolo Sibilla氏、UC BerkeleyのPeng Zhou氏と共同で真アファイン超曲面の完全交叉に対するHMSを確立した。その過程でWeinstein多様体の巻深谷圏をLagrangian骨格の閉被覆に沿って貼り合わせる手法を確立した。B2.Gammage-Shendeがfanifold上に構成したミラー対を定義域とするSYZファイブレ－ションに対応する写像を構成した。B3.上記の写像を用いてfanifold上のWeinsteinセクターの扇状被覆を構成した。応用としてGammage-Shendeが確立したHMSを扇状descentにより余層の同型に格上げし、扇状descentの超弦理論的にも意味のある例を与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
これまでに得られた成果を論文にまとめる作業、その修正や拡張に時間が掛かってしまい、研究の構想上の課題をあまり進められなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
論文の執筆作業が一通り済んだので、構想上の課題に集中する。
まず、エタール局所的な射影空間のCCCの貼合せをBrauer類により調整してBS多様体のCCCを確立することを試みる。BS多様体の連接層の導来圏が半直交分解をもつことは知られているので、鍵となるのは半直交分解の各項に対応する構成可能層の圏を同定しそれらを貼り合せることである。
次に、Brauer類と射影空間のFLTZ骨格を基にBS多様体の完全複体のdg圏を大域切断として与えるような局所定数層あるいはその変種を構成することを試みる。これはBS多様体の連接層の導来圏と同値な深谷圏を与える空間を同定するために欠かせない過程である。深谷圏の貼り合わせに関する研究も独立に進め、多角的な視点を養う。
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