| Project/Area Number |
23KJ0687
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| Research Category |
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Section | 国内 |
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| Review Section |
Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
小暮 祥弘 東京大学, 情報理工学系研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2023-04-25 – 2024-03-31
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| Project Status |
Discontinued (Fiscal Year 2023)
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| Budget Amount *help |
¥2,700,000 (Direct Cost: ¥2,700,000)
Fiscal Year 2025: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2024: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2023: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
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| Keywords | cubature公式 / モーメント行列 / 行列ランク最小化 |
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| Outline of Research at the Start |
高次元の関数近似における「次元の呪い」の緩和に向けた理論の基盤を固め、近似手法に対して最適な決定的サンンプリング法の確立を目指す。そのために本研究では、誤差に応じて基底関数を追加することで適切な近似空間を選択する貪欲法の理論解析を行う. サンプリング点から関数を推定する問題では、十分な成果が得られているとは言えない効率的な決定的サンプリング点の構成を与えることを目指す。特に、線形近似においては最小二乗法で逆行列を計算する行列の条件数を1に近づけることに注力する。
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| Outline of Annual Research Achievements |
当初の研究計画では1年目に準モンテカルロ法サンプリングを用いた近似関数推定の性質について数学解析を行う予定だったが、多項式を用いた近似関数推定に用いるサンプリングの研究を行った。多項式を用いた近似関数推定に用いるサンプリング法の一候補として、特定の次数までの多項式の積分を正確に計算可能な数値積分公式の一つであるcubature公式に着目した。多項式は基底関数の中でも基本的なものであり、cubature公式は多項式と関わりの深いサンプリング点と考えられる。しかし、cubature公式の構成法そのものについて十分な知見は得られているとは言えず、特に多次元領域におけるcubature公式の構成法として多くのサンプリング点を構成できる効率的な手法は知られていない。そこで本研究ではcubature公式の構成問題がモーメント行列と呼ばれる行列の凸領域上のランク最小化問題に帰着されることに着目した。ランク最小化問題は一般には難しい問題であるが、本問題の特殊生に着目してモーメント行列のランクをモーメント行列に関するある線形関数で上から抑えられることを示した。これは、モーメント行列のランク関数自体の最小化が難しいため、凸関数である線形関数で抑えられることはモーメント行列のランク最小化を考える上で有益な知見である。また、モーメント行列のランク最小化問題がlog-detヒューリスティックと呼ばれる手法を用いて数値的にうまく解けることを見いだした。この計算がうまくいってしまう現象をlog-detヒューリスティックの目的関数の凸緩和を模索して理論的な説明を試みたが、有益な理論は構築できなかった。
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