| Project/Area Number |
23KJ0695
|
|---|
| Research Category |
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
|
| Allocation Type | Multi-year Fund |
|---|
| Section | 国内 |
|---|
| Review Section |
Basic Section 12010:Basic analysis-related
|
|---|
| Research Institution | The University of Tokyo |
|---|
Principal Investigator |
星野 真生 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2023-04-25 – 2026-03-31
|
| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2023)
|
| Budget Amount *help |
¥2,700,000 (Direct Cost: ¥2,700,000)
Fiscal Year 2025: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2024: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
Fiscal Year 2023: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
|
|---|
| Keywords | 変形量子化 / 量子群 / 一般化Verma加群 / 量子旗多様体 |
|---|
| Outline of Research at the Start |
作用素環論とはもともと量子力学を数学的に考察するために考えられたものだが，現在では数学に登場する「空間」の非可換化を扱う枠組みとしての側面も持つ．その一端が作用素環論的な量子群であり，本研究では量子群の作用素環への作用を取り扱う．特に興味を持っているのは量子等質空間と呼ばれる種類のものであり，半単純コンパクトLie群の神保-Drinfeld変形について，適切な意味でよい量子等質空間の分類を目指している．
|
| Outline of Annual Research Achievements |
旗多様体の同変変形量子化の構成を行った．これはPodlesによる量子球面（二次元球面をSU(2)/Tとみなした上で，SUq(2)の作用が入るように量子化したもの）を一般の半単純コンパクトLie群の旗多様体（あるいは複素半単純Lie群を適切なLevi因子で割った代数多様体）の場合に一般化したものである．このような量子化を考えるためには対応する空間（今回の設定では旗多様体）上のPoisson構造を指定する必要があるが，この部分についてはJ. Doninにより完全な分類がなされており，さらにはその分類に基づいて同変変形量子化の存在と分類も示されていた．ただしこれはPoissonコホモロジーの消滅などに基づいた抽象的な存在定理であり，私が行ったのはその具体的な構成を与えることである．これはA. MudrovやB.Enriquezらによる放物型誘導表現を用いた構成を一般化したものであり，具体的には量子普遍包絡環をJ. DoninによるPoisson構造の分類に基づいて変形してから放物型誘導をとるものである．このときgenericなPoisson構造については実は本質的には非自明な1次元表現についての放物型誘導表現を考えることに対応するが，そうでない場合には単に放物型誘導表現を考えるだけでは得られない構成になっていることが重要である．
またこれとは別に，離散量子群の有限指数部分量子群についても研究を行った．まず離散量子群の部分量子群の指数について基礎理論の整備を行い，またP. Soltanによる量子Bohrコンパクト化と結びつけることにより半単純コンパクトLie群の双対の自由積などの具体例での有限指数部分量子群の分類定理を得た．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
具体的な量子群の作用の構成については年度当初は全く方針が得られていなかったため．現時点では先行研究の調査を含め具体的かつ技術的な問題を設定できており，さらに量子化を考えるうえで最初のステップとなる変形量子化については完全に解決することができることは十分な進展であるといえる．またコンパクトLie群の双対の自由積の有限指数部分量子群の分類についても，完全に組み合わせ論的な問題であるにもかかわらず量子群及びその作用素環論的な取り扱いが真に重要な議論から結果が得られたことは望外の成果である．
|
| Strategy for Future Research Activity |
旗多様体の同変量子化について研究を進める．現状得られている成果は変形量子化についてのものであり，これは作用素環論的な扱いをする上では不十分である．具体的には変形量子化ではない体係数で１の冪根でない設定で変形された量子普遍包絡環による放物型誘導について単純性やユニタリ化可能性について論じる必要がある．
|
