頂点代数の幾何学的表現論

• Project/Area Number: 23KJ1120
• Research Category: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 国内
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 西中 祐介 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
• Project Period (FY): 2023-04-25 – 2026-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2023)
• Budget Amount: ¥2,700,000 (Direct Cost: ¥2,700,000); Fiscal Year 2025: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000); Fiscal Year 2024: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000); Fiscal Year 2023: ¥900,000 (Direct Cost: ¥900,000)
• Keywords: 頂点代数 / 頂点Poisson代数 / 表現論 / 量子代数 / オペラッド / 因子化代数

Outline of Research at the Start

本研究の目的は、古典的なPoisson幾何を頂点代数へ拡張しようとする「カイラルPoisson幾何」を確立し発展させることである。
頂点代数はLie環のような対象であり、例えばLie環はPBWフィルトレーションをもつのに対して頂点代数はLiフィルトレーションをもつ。さらに対応する次数付き線形空間はそれぞれPoisson代数、頂点Poisson代数をなす。このような類似を手掛かりにPoisson幾何の拡張を研究する。
また最近になって二次元以上の共形場理論にも頂点代数が現れることが物理学者によって観察されている。このような頂点代数についての研究も行い、高次元の共形場理論と頂点代数の関連を調べる。

Outline of Annual Research Achievements

今年度の前半では超対称頂点Poisson代数(SUSY vertex Poisson algebra)の代数構造を記述するオペラッドについて柳田伸太郎氏と共同研究を行い, その成果を Y. Nishinaka, S. Yanagida, "Algebraic operad of SUSY Poisson vertex algebra", arXiv:2305.00714 でプレプリント発表した. これは前年度に行った超対称頂点代数(SUSY vertex algebra)のオペラッドに関する研究 Y. Nishinaka, S. Yanagida, "Algebraic operad of SUSY vertex algebra", arXiv:2209.14617 の続きであり, 両者のオペラッドの間の関係についても調べた.
また今年度の後半では頂点代数のclassically freenessとよばれる性質について調べた. これはvan Ekeren, Heluaniらによって名付けられた性質で, 楕円曲線上の1次のカイラルホモロジーと関係がある. もともとカイラルホモロジーはBeilinson, Drinfeldらが一般の代数曲線上で定義したものであり, 0次のホモロジーは共形ブロックのなす空間と同型になることが知られている. van Ekeren, Heluaniらの結果は代数曲線が楕円曲線の場合, 1次のホモロジーが頂点代数のZhu代数を用いて記述できるというものであり, そのための十分条件として頂点代数にclassically freenessが課されている. 今年度後半では単純なアフィン頂点代数のclassically freenessについて研究し, これは現在も継続中である.

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

研究計画の初年度の目標である超対称頂点Poisson代数のオペラッドの構成ができた. また昨年度に定義した超対称頂点代数のオペラッドとの関係を調べることができた. 以上の理由により研究はおおむね順調に進展しているといえる.

Strategy for Future Research Activity

今年度後半に行った単純アフィン頂点代数のclassically freenessに関する研究を続ける. また当初の計画にはなかった課題としてCostello, Gwilliamの因子化代数と頂点代数および頂点Poisson代数の関係について調べる.

Research Products

• [Presentation] 超対称頂点代数のオペラッド (2023)
  • Author(s): 西中祐介
  • Organizer: 第19回数学総合若手研究集会
• [Presentation] 超対称頂点代数のオペラッド (2023)
  • Author(s): 西中祐介
  • Organizer: 第27回代数学若手研究会
• [Presentation] Algebraic operad of SUSY vertex algebras and SUSY vertex Poisson algebras (2023)
  • Author(s): 西中祐介
  • Organizer: Algebraic Lie Theory and Representation Theory 2023
• [Presentation] A review of vertex algebras and chiral algebras (2023)
  • Author(s): 西中祐介
  • Organizer: Shenzhen-Nagoya Workshop on Quantum Science 2023