Effective rational approximation to algebraic irrationals and exponential Diophantine equations

• Project/Area Number: 24K06642
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: Gunma University
• Principal Investigator: 宮崎 隆史 群馬大学, 大学院理工学府, 准教授 (20706725)
• Project Period (FY): 2024-04-01 – 2029-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2024)
• Budget Amount: ¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000); Fiscal Year 2028: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2027: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2026: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2025: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2024: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
• Keywords: 指数型不定方程式 / 単数方程式 / 対数一次形式の理論 / 代数的無理数の有理近似 / ラマヌジャン・ナゲール型方程式

Outline of Research at the Start

どの二つも互いに素である整数>1の三つ組み(a,b,c)に対し、方程式a^x+b^y=c^zの自然数解の個数の一般的な評価や、特別な場合におけるその解の決定について研究を行う。まず、解の個数については、『いくつかの具体的な例を除いて、方程式の解の個数は高々一つ』という予想の肯定的解決を目指す。特に、底数cの値を固定し、それを有理数乗して得られる無理数の制限付き有理近似不等式の確立を実効的に行い、予想にアプローチする。また、ピタゴラス数に関わる様な特殊な場合における方程式の解の決定をすること、および関連するラマヌジャン・ナゲール型方程式等の解の個数の一般的な評価を得ることも目指す。