測度論的ホモトピー原理

• Project/Area Number: 24K06712
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Kyoto University of Education
• Principal Investigator: 吉安 徹 京都教育大学, 教育学部, 講師 (20757918)
• Project Period (FY): 2024-04-01 – 2028-03-31
• Project Status: Granted (Fiscal Year 2024)
• Budget Amount: ¥1,820,000 (Direct Cost: ¥1,400,000、Indirect Cost: ¥420,000); Fiscal Year 2027: ¥260,000 (Direct Cost: ¥200,000、Indirect Cost: ¥60,000); Fiscal Year 2026: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000); Fiscal Year 2025: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000); Fiscal Year 2024: ¥520,000 (Direct Cost: ¥400,000、Indirect Cost: ¥120,000)
• Keywords: 掛谷の針問題 / ホモトピー原理

Outline of Research at the Start

掛谷の針問題とは、「平面の部分集合であって、単位区間をその中で一回転させられるようなものの最小測度はいくつか？」というものである。最小測度は存在せず、いくらでも小さな正の測度を持つようなものを構成できることが知られている。
本研究の目的は、この問題がどうしてこのように解けるのか、その背後にある幾何学的原理を解明することである。

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的は，掛谷の針問題の背後にある幾何学的原理を解明することである．それにあたり，ホモトピー原理的な視点とアプローチが有効という仮説を立て，研究を行っている．具体的な目標は以下の２つである：（１）移動とその測度の評価を，ホモトピー原理的なアプローチで定式化する．特に，測度がいくらでも小さくできるための必要十分条件を得る．（２）（１）で得られた必要十分条件に対し，具体的な部分集合がそれをみたすための簡便な十分条件を得る．

今年度は（１）の定式化部分を中心に研究を進めた．幾何学的な言葉遣いによる主張の翻訳は順調に進んでいる．この部分はホモトピー原理の哲学を援用することでクリアできる見通しだったため，当初の見込み通りである．これに加えて，測度の評価つきで必要十分条件を得るため，生成系に関する考察が必要となる．任意の移動を考えるために良い生成系を考える必要があり，またその選択は一意でないため，この部分の理解がまだ十分でない．

上記（１）（２）とは独立に，掛谷の針問題への確率論的なアプローチについても検討を始めた．これは講演を行った際，江崎翔太氏（大分大学）との情報交換中に得られた着想である．（１）（２）とは異なる主張・手法・結論が見込まれる一方，確率論的な側面から掛谷の針問題を調べることも興味深いと思われる．現在は主張と結論を模索している段階だが，（１）（２）との関連を含めて，引き続き研究を進める．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

（１）が予定通り進んでおり，当初の計画にはなかった確率論的アプローチの着想を得ることもできたため．

Strategy for Future Research Activity

（１）の測度の評価に関する考察を進める．特に，生成系の自由度と主張の強弱について正確な理解を得ることを目標に研究を進めていく．並行して，確率論的アプローチについても情報収集と考察を進める．