基本群とカンドルを用いた結び目接触ホモロジーの研究

Research Project

Project/Area Number	24K06732
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Allocation Type	Multi-year Fund
Section	一般
Review Section	Basic Section 11020:Geometry-related
Research Institution	Yamagata University
Principal Investigator	松田浩山形大学, 理学部, 准教授 (70372703)
Project Period (FY)	2024-04-01 – 2028-03-31
Project Status	Granted (Fiscal Year 2024)
Budget Amount *help	¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000) Fiscal Year 2027: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000) Fiscal Year 2026: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000) Fiscal Year 2025: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000) Fiscal Year 2024: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Keywords	仮想結び目 / 結び目ホモロジー
Outline of Research at the Start	結び目補空間の基本群にメリディアンの情報を取り入れた結び目カンドルは1次元結び目の完全不変量であることが知られ2次元結び目などへも適用範囲を拡げている。結び目フレアーホモロジー、Khovanovホモロジーなどの圏化不変量は1次元結び目の完全不変量でないことが知られ2次元結び目などへ適用範囲を拡げる試みは成功していると言えない。結び目接触ホモロジーは圏化不変量と異なり、メリディアンの情報を取り入れると1次元結び目の完全不変量を与えることが知られている。この接触ホモロジーの適用範囲を2次元結び目などへ効果的に拡げることを遂行する。
Outline of Annual Research Achievements	結び目を拡張する概念として仮想結び目が提案されている。仮想結び目に対して彩色という概念がCheng氏により定義され、仮想結び目の不変量を構成するために利用されていた。これと似た概念である高さという概念を仮想結び目に定義し、仮想結び目に既に定義されていた不変量であるKauffman多項式と同様の構成方法を実行すると、元のKauffman多項式よりも強力な不変量が得られることが分かった。例えば従来のKauffman多項式は自明な結び目とKishino結び目と呼ばれる仮想結び目とを区別できないことが知られているが、今回構成した不変量はこの2つの仮想結び目を区別できることが分かった。しかし3種類定義できるKishino型結び目のうち、この不変量は2種類を区別できないことが分かり、どの程度強力であるかについてはまだ分かっていない。従来のKauffman多項式からは圏化としてKhovanovホモロジーがFrobenius代数を使って得られることが知られている。この構成を真似て新しい不変量から圏化としてホモロジー不変量を構成することを考えてみると、Frobenius代数だけでは不充分であることが明らかになった。圏化に必要な代数を構成することについて考察をすすめている。仮想結び目の高さに対応するものを1次元結び目に対して構成するために、カンドルを使うことを考えている。しかし非自明な不変量を構成できるカンドルを見つけることがまだできていない。今後は仮想結び目に定義した高さという概念を仮想結び目の結び目接触ホモロジーの構成に取り込むことを計画している。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 高さという概念を使って仮想結び目の新しい不変量を構成することができた。
Strategy for Future Research Activity	仮想結び目に対して定義した新しい不変量がどの程度強力な不変量であるか調べるため具体例の計算を実行していく。仮想結び目の新しい不変量から圏化としてホモロジー不変量を構成するために必要な代数について調べていく。結び目接触ホモロジーを初めとする結び目不変量の構成にカンドルを取り入れることについて考察をすすめる。