| Project/Area Number |
24K16922
|
|---|
| Research Category |
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
|
| Allocation Type | Multi-year Fund |
|---|
| Review Section |
Basic Section 11020:Geometry-related
|
|---|
| Research Institution | Kyushu University |
|---|
Principal Investigator |
森田 陽介 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (70804318)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2024-04-01 – 2028-03-31
|
| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
|
| Budget Amount *help |
¥4,680,000 (Direct Cost: ¥3,600,000、Indirect Cost: ¥1,080,000)
Fiscal Year 2027: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2026: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
Fiscal Year 2025: ¥1,300,000 (Direct Cost: ¥1,000,000、Indirect Cost: ¥300,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
|
|---|
| Keywords | 幾何学 / Lie群 / 等質空間 / 固有な作用 / Clifford-Klein形 / 凸余コンパクト / Coxeter群 / 固有な群作用 / ファイブレーション |
|---|
| Outline of Research at the Start |
本研究では群作用と固有性にかかわる幾何学を探究する。具体的には以下の問題に取り組む予定である。
等質空間 G/H に G の離散部分群が固有かつ自由に作用するとき、商多様体を Clifford-Klein 形という。Clifford-Klein 形の大域幾何学は近年「Clifford-Klein 形をあるファイブレーションの全空間として表示することが重要である」という新しいパラダイムのもと急速に進展している。本研究ではこの考え方をふまえて、コンパクト商の存在問題、固有作用と相性のよい等質空間のコンパクト化の構成、他分野との関係の探求、non-standard な固有作用の構成などに取り組みたい。
|
| Outline of Annual Research Achievements |
等質空間 G/H に G の離散部分群 Γ が固有かつ自由に作用するとき、商空間は G/H を局所的なモデルとする多様体の構造が定まる。このようにして得られる多様体を Clifford-Klein 形という。
G の簡約部分群 L が G/H に固有に作用するとき、L の離散部分群たちもみな G/H に固有に作用する。この方法で得られる固有作用を、標準的という。本年度は Maciej Bochenski 氏との共同研究で、曲面群の標準的な固有作用を持たないが、非標準的なものは持つような簡約型等質空間 G/H の最初の例を与えた（実はより強く、我々の構成した例は O(3,1) および O(4,1) のある余コンパクト格子の非標準的固有作用も持つ）。非標準的な固有作用の構成は、Gueritaud-Kassel による双曲空間の凸余コンパクト商の最適 Lipschitz 定数に関する理論と、Danciger-Gueritaud-Kassel が与えた「一様に縮小的な」直角 Coxeter 群の変形に基づく。一方で標準的な固有作用の非存在は、古典群内の冪零軌道の分類と、数の分割に関する初等的な議論によって証明される。
その他、Gromov 双曲的な Coxeter 群や、Seiberg-Witten 理論についても考察しているところである（1つ目は Gye-Seon Lee 氏と、2つ目は今野北斗氏と議論中）。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
Maciej Bochenski 氏との共同研究によって、研究代表者が大学院生の頃から折に触れて考え続けてきた問題を、ついに解決することができた。しかも曲面群だけでなく、O(3,1) および O(4,1) のある余コンパクト格子の非標準的固有作用の存在まで証明することができた。これは、想像さえしていなかった成果である。
|
| Strategy for Future Research Activity |
2025年の2月末から9月末までフランスに長期滞在するので、その間にコンパクト Clifford-Klein 形の非存在に関する Fanny Kassel 氏・Nicolas Tholozan 氏との共同研究を推し進める。またフランス滞在中にポーランドにも訪問し、今回の結果をさらに拡張できないか、Maciej Bochenski 氏と議論を行う。
|
