| Project/Area Number |
24K21515
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
Medium-sized Section 12:Analysis, applied mathematics, and related fields
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
佐々田 槙子 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (00609042)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
坂内 健一 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (90343201)
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| Project Period (FY) |
2024-06-28 – 2027-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥6,370,000 (Direct Cost: ¥4,900,000、Indirect Cost: ¥1,470,000)
Fiscal Year 2026: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000)
Fiscal Year 2025: ¥2,990,000 (Direct Cost: ¥2,300,000、Indirect Cost: ¥690,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000)
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| Keywords | 大規模相互作用系 / 配置空間 / 一様関数 / 一様コホモロジー / 保存量 / 流体力学極限 / 無限直積空間上の幾何学 / 相互作用粒子系 / 時空間スケール極限 |
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| Outline of Research at the Start |
流体力学極限は、膨大な自由度を持ち確率的に振る舞う相互作用粒子系から、時空間変数に関する適切なスケール極限を用いて、その保存量が従う決定論的な偏微分方程式を導出する手法である。非平衡統計力学を基礎付ける方法として長年盛んに研究され続け、個々のモデルに対する定理の積み重ねとして発展してきたが、既存の流体力学極限の証明は、個々のモデルの詳細に依存しており、物理的に期待されるようなロバストで普遍的な理論には程遠い。本研究は、非平衡統計力学を基礎づける重要な手法である流体力学極限の普遍的理論体系の構築を、無限直積空間上の新しい幾何学の創出によって、実現することを目指すものである。
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| Outline of Annual Research Achievements |
大規模相互作用系を一般的な枠組みで扱うため,局所的な状態を表す集合S と, 相互作用が起きている底空間を表す局所連結グラフ(X,E) に加えて, これまで我々の研究で扱ってきた相互作用をより一般化した, 対称グラフにより表される相互作用の定式化を行なった. さらに, この拡張された（大規模）相互作用系に対して, 配置空間を定義し, その上での一様関数と一様形式の空間がこれまでと同様に定式化できることを確認した. さらに, これまでより弱い「相互作用がexchangeable である」という仮定の元で保存量と0 次一様コホモロジーが対応することを示し, さらに「相互作用がirreducibly quantified である」という仮定の元で既存の結果と同様に1 次の一様コホモロジーが消えることを確認した. これらの定式化を用いて,局所的な相互作用を, 保存量空間の構造をもとに分類し, 集合S が3 点以下の集合の場合に完全な分類を得た. さらに, この定式化による普遍的な枠組みにおいて, 拡散型の流体力学極限方程式の拡散行列がどのように表されるのかという一般的な予想を得た. さらに、この拡散行列が配置空間上の周期行列の逆行列となっているという解釈を与えることにも成功した。こららの研究は全て研究代表者の佐々田槙子と分担者である坂内健一との共同研究であり, 局所的な相互作用の分類についてはさらに高力潤氏, 山本修司氏, 和知秀忠氏との共同研究である.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は、これまで理論としては完成していた部分の研究成果を複数の論文にまとめて投稿することができたほか、新たな拡張により、より一般的な枠組みを作ることにも成功した。また、今後の新展開を見据えて、合宿型の研究集会を開催し、幾何学や物理の専門家らとの非常に有意義な議論ができた。そこで見出された方向性に沿って、今後より革新的な研究を行うことが期待できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
すでに微分幾何学の専門家らと、今後の方向性について勾配流構造を用いた普遍的な枠組みについての議論を始めており、今後も定期的に微分幾何学の研究者らと議論、共同研究を行なっていく予定である。ポスドクや大学院生などの若手の参画も進んでおり、若手研究者らと共に研究を前進させていく計画である。
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