| Project/Area Number |
24K22823
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Review Section |
0201:Algebra, geometry, analysis, applied mathematics,and related fields
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| Research Institution | Hirosaki University |
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Principal Investigator |
澤原 雅知 弘前大学, 教育学部, 助教 (20969943)
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| Project Period (FY) |
2024-07-31 – 2026-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥2,860,000 (Direct Cost: ¥2,200,000、Indirect Cost: ¥660,000)
Fiscal Year 2025: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,430,000 (Direct Cost: ¥1,100,000、Indirect Cost: ¥330,000)
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| Keywords | 正規del Pezzo曲面 / 偏極シリンダー / アフィン平面 / 極小コンパクト化 / アフィン線織 / 正規代数曲面 / Log del Pezzo曲面 / シリンダー |
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| Outline of Research at the Start |
本研究の目標は，標数0の代数閉体上に定義されたlog del Pezzo曲面に対して，どのように偏極シリンダーが含まれているのかを明らかにすることである．
高々有理二重点をもつlog del Pezzo曲面に対しては，殆どのケースにおいて偏極シリンダーの存在条件が明らかとなっている．しかし，解明されていないケースが一部あるので，そのようなケースを調べる．そして，高々有理二重点をもつlog del Pezzo曲面を足掛かりに，一般のlog del Pezzo曲面において偏極シリンダーの有無を判定するための効果的な方法を編み出すことを目指す．
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は，高々有理二重点をもつ次数2以下の正規del Pezzo曲面に対して，偏極シリンダーの存在条件を考察した．更に，アフィン平面などの開代数曲面の極小コンパクト化の分類研究や標数0の非代数閉体上に定義されたピカール数1の正規del Pezzo曲面の構造研究を行った．今年度に主に得られた成果は以下の通りである：
(1) 高々有理二重点をもつ次数2の正規del Pezzo曲面において，反標準偏極シリンダーを含むならば，任意の豊富Q-因子HについてH-偏極シリンダーが含まれることを示した．この結果は論文にまとめ，arXivに公開を行うとともに査読付き学術雑誌に投稿中である．また，Jaehyun Kim氏（梨花女子大学校・研究員）およびDae-Won Lee氏（梨花女子大学校・研究員）と共同で，一部の高々有理二重点をもつ次数1の正規del Pezzo曲面に対しても，上記と同様の結果が成り立つことを示した．
(2) アフィン平面の極小コンパクト化として高々星型特異点をもつものを分類した．更に，その分類結果を用いて，対数的標準特異点より悪い特異点をもつピカール数1の正規del Pezzo曲面の例を多数構成した．この結果をまとめた論文は，査読付き学術雑誌への掲載が決定している．
(3) 標数0の非代数閉体上に定義されたピカール数1の正規del Pezzo曲面として，川又対数的端末特異点でない有理対数的標準特異点をちょうど1個もつものを部分的に分類した．更に，そのような曲面として，シリンダーを含まない（つまりアフィン線織的でない）ような例を構成した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度に計画していた研究内容は「高々有理二重点をもつ次数が1または2の正規del Pezzo曲面において，反標準偏極シリンダーを含む場合に，一般の偏極シリンダーの存在条件を調べること」であった．このうち，次数2の場合は完全に遂行できた．次数1の場合は，部分的には遂行できているが，論文として発表できる段階には至っていない．これは，当初の想定以上にデリケートな問題であることが判明したためである．他方，上記「研究実績の概要」の(2)～(3)で記載した，当初は全く予定していなかった成果が得られた．
今年度予定していた研究課題は，計画通りに進展しているとは言い難いが，論文として発表できる部分的成果は得られている．また，当初予期していなかった研究成果が複数得られ，そのうち一部の成果を論文にまとめて発表できている．以上を踏まえ，今年度の研究は「おおむね順調に進展している」と判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
当初予定していた研究計画に対し，研究内容の具体性が乏しい部分を修正する必要がある．また，新たに研究するべき課題が見つかった．そのため，研究実施計画を少し変更し，以下のような課題について研究を遂行する：
(a) 今年度に引き続き，高々有理二重点をもつ次数1の正規del Pezzo曲面において，反標準偏極シリンダーを含む場合に，一般の偏極シリンダーの存在条件を調べる．特に，ピカール数などの不変量に着目して，考察しやすいと思われる場合を中心に調べる．この研究では，Jaehyun Kim氏（梨花女子大学校・研究員）およびDae-Won Lee氏（梨花女子大学校・研究員）と協力しながら研究を遂行する．
(b) 今年度に引き続き，標数0の非代数閉体上に定義されたピカール数1の正規del Pezzo曲面として，有理対数的標準特異点をちょうど1個もつものを分類する．特に，特異点がD-型またはE-型の川又対数的端末特異点の場合を中心に分類を試みる．
(c) 非特異3次del Pezzo曲面の一般化に相当する特殊なlog del Pezzo曲面に対して，一般の偏極シリンダーの存在条件を調べる．Jaehyun Kim氏およびDae-Won Lee氏と協力しながら研究を遂行する．加えて，Joonyeong Won氏およびIn-Kyun Kim氏の協力も得る予定である．
(d) 標数0の体上に定義されたアフィン線織な開有理代数曲面のformの極小コンパクト化で，反標準因子が数値的豊富や数値的自明になるための条件を解明し，分類できるどうかを調べる．
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