射影多様体の幾何と直線の多様体のホッジ構造

• Project/Area Number: 25400049
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Tokyo Denki University
• Principal Investigator: 池田 京司 東京電機大学, 工学部, 准教授 (40397617)
• Project Period (FY): 2013-04-01 – 2016-03-31
• Project Status: Discontinued (Fiscal Year 2015)
• Budget Amount: ¥4,160,000 (Direct Cost: ¥3,200,000、Indirect Cost: ¥960,000); Fiscal Year 2016: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000); Fiscal Year 2015: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000); Fiscal Year 2014: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000); Fiscal Year 2013: ¥1,040,000 (Direct Cost: ¥800,000、Indirect Cost: ¥240,000)
• Keywords: 射影多様体 / ホッジ構造 / ３次超曲面 / 楕円曲面 / ３次曲面

Outline of Annual Research Achievements

１．最終年度に実施した研究の成果
有限位数の自己同型射をもつ代数曲線の２次対称積を、その自己同型射が生成する群で割ることにより得られる代数曲面の周期について具体的な計算を行った。これらの代数曲面の一部はある射影多様体に対する接線の多様体の退化として現れるため、接線の多様体の一般的性質を解明するために、まずこれらを詳しく計算をしておく必要があった。また位数が２の自己同型射から得られる代数曲面は古典的なクンマー曲面の一つの拡張である。クンマー曲面がK3曲面のホッジ構造についてのトレリの定理の証明の鍵になったことと同様に、これらの代数曲面を調べることは、より一般の代数曲面の周期を研究する一つの鍵になるものと期待できる。またこれらの曲面の中で小平次元が１であるものについて、周期行列を具体的に表示することにより、そのモーデル・ヴェイユ群の計算を行い、生成元を具体的に表示する例を与えた。
２．研究期間全体を通じて実施した研究の成果
射影空間内の代数多様体に対し、ある重複度の接点をもつ直線全体はグラスマン多様体の部分多様体となるが、これを接線の多様体と呼ぶ。接線の多様体のホッジ構造を具体的に記述するために、接線の多様体をある旗多様体の基本的なベクトル束の切断の零点として表示した。旗多様体の上のベクトル束のコホモロジーの消滅条件を詳しく調べ、ある条件のもと接線の多様体のホッジコホモロジーを具体的に表示する部分的な結果を得た。また３次超曲面などの特別な射影多様体に対し、その接線の多様体の周期写像を具体的に記述することも課題の一つであったが、ある退化３次曲面に対する接線の多様体に対して成果を得た。具体的には、その周期積分の値の数論的性質と接線の多様体のピカール数の変動の関係を記述する成果を得た。そしてこの計算は、上記の最終年度の成果にまで拡張された。

Research Products

• [Journal Article] The double cover of cubic surfaces branched along their Hessian (2014)
  • Author(s): IKEDA, Atsushi
  • Journal Title: Internat. J. Math. Volume: 25 Issue: 08 Pages: 1450075-1450075
  • DOI: 10.1142/s0129167x1450075x
  • Peer Reviewed
• [Presentation] On quotients of symmetric squares of algebraic curves (2016)
  • Author(s): 池田京司
  • Organizer: 代数幾何ミニ研究集会
  • Place of Presentation: 埼玉大学
  • Year and Date: 2016-03-10
• [Presentation] Periods of certain elliptic surfaces (2015)
  • Author(s): 池田京司
  • Organizer: 特異点と多様体の幾何学
  • Place of Presentation: 草津セミナーハウス
  • Year and Date: 2015-09-23
• [Presentation] Periods of certain elliptic surfaces (2015)
  • Author(s): 池田京司
  • Organizer: 第３回K3曲面・エンリケス曲面ワークショップ
  • Place of Presentation: 北海道教育大学
  • Year and Date: 2015-08-18
• [Presentation] ある楕円曲面族の周期とMordell-Weil群の変動 (2015)
  • Author(s): 池田京司
  • Organizer: 野田代数幾何学シンポジウム
  • Place of Presentation: 東京理科大学（千葉県野田市）
  • Year and Date: 2015-03-18
• [Presentation] Period map for a family of elliptic surfaces (2015)
  • Author(s): 池田京司
  • Organizer: ホッジ理論と代数幾何学
  • Place of Presentation: 大阪大学（大阪府豊中市）
  • Year and Date: 2015-03-12
• [Presentation] ある楕円曲面族の周期とMordell-Weil群の変動 (2015)
  • Author(s): 池田京司
  • Organizer: 第２回代数幾何学研究集会－宇部－
  • Place of Presentation: 宇部工業高専（山口県宇部市）
  • Year and Date: 2015-01-24
• [Presentation] Varieties of tangent lines to hypersurfaces
  • Author(s): Atsushi Ikeda
  • Organizer: 第３回代数曲面ワークショップ at 秋葉原
  • Place of Presentation: 首都大学東京秋葉原サテライトキャンパス
• [Presentation] ある楕円曲面の族に対する周期写像
  • Author(s): Atsushi Ikeda
  • Organizer: ワークショップ「ホッジ理論と代数幾何学」
  • Place of Presentation: 東京電機大学
• [Presentation] Cubic surfaces with two nodes and symmetric square s of Picard curves
  • Author(s): Atsushi Ikeda
  • Organizer: 第１１回代数曲線論シンポジウム
  • Place of Presentation: 首都大学東京