曲線の運動方程式のリーマン幾何学的摂動

• Project/Area Number: 26400069
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Kyushu University (2017-2019); Osaka University (2014-2016)
• Principal Investigator: 小磯 憲史 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 学術研究者 (70116028)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 川久保 哲 兵庫県立大学, 物質理学研究科, 教授 (80360303)
• Project Period (FY): 2014-04-01 – 2020-03-31
• Project Status: Discontinued (Fiscal Year 2019)
• Budget Amount: ¥4,550,000 (Direct Cost: ¥3,500,000、Indirect Cost: ¥1,050,000); Fiscal Year 2018: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2017: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2016: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2015: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000); Fiscal Year 2014: ¥910,000 (Direct Cost: ¥700,000、Indirect Cost: ¥210,000)
• Keywords: リーマン多様体への摂動 / 弾性曲線 / 運動方程式 / 重調和超曲面 / 2 重調和部分多様体

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的は Caflish と Maddocks が導入したユークリッド空間における弾性曲線の運動方程式の解の存在定理を一般のリーマン多様体上に拡張することである．この目的は2017年度までで主要部分を達成することができた．その証明の骨格を一言で言えば，曲線の近傍に正規直交枠を与えることにより今までの研究で得られた Lie 群の場合に帰着させるということである．その帰着の手続きにおける最も重要な鍵は (1) 共変微分で定義された微分作用素を正規直交枠を用いて微分可能性を人為的に高くした微分作用素で近似すること，(2) 測地線を特徴付ける積分量の定義において用いる微分階数を減らすこと，であった．
2018年度まではこれらの鍵の厳密化として 2 点: (1) この研究成果の応用のためには初期値の微分可能性の仮定を現在の 3 階連続微分可能性よりももっと弱めること，(2) 測地線を特徴付ける正定値常微分作用素部分のより詳細な解析により幾何学的な意味をより明確にする，という方針で研究を行った．
その結果，次のような成果を得た: (1) 最終的な 3 階連続微分可能性を改良することはできなかったが，それを導く補題の段階では微分可能性を減らすことができた．これは応用上意味のある改良である．(2) 1 階微分のみを用いた測地線を特徴付ける積分量を定めた．この積分量に関する変分問題をユークリッド平面において解析し，正 n 角形の積分量が n を大きくしていったときに円の積分量に収束するなど，1 階微分のみを用いた解析の有用性を示した．

Research Products

• [Journal Article] Motion of an elastic wire with thickness in a Riemannian manifold (2018)
  • Author(s): Norihito Koiso
  • Journal Title: arXiv Volume: - Pages: 1-35
  • Open Access
• [Journal Article] On motion of an elastic wire in a Riemannian manifold and singular perturbation (2015)
  • Author(s): N. Koiso
  • Journal Title: Osaka J. Math. Volume: 52
  • NAID: 120005830456
  • Peer Reviewed
• [Presentation] Riemann 多様体における弾性曲線の波動型運動方程式 (2018)
  • Author(s): 小磯憲史
  • Organizer: 福岡大学微分幾何セミナー
  • Invited
• [Presentation] Riemann 多様体における弾性曲線の波動型運動方程式 (2018)
  • Author(s): 小磯憲史
  • Organizer: 数理解析研究所
  • Invited
• [Presentation] Riemann 多様体上の弾性曲線の波動型運動方程式 (2018)
  • Author(s): 小磯憲史
  • Organizer: 幾何学シンポジウム
  • Invited
• [Presentation] 太さのある弾性曲線の運動 II (Riemann 多様体への一般化) (2018)
  • Author(s): 小磯憲史
  • Organizer: 部分多様体論・湯沢
  • Invited
• [Presentation] Riemann 多様体上の弾性曲線の波動運動方程式 (2018)
  • Author(s): 小磯憲史
  • Organizer: 日本数学会幾何分科会
• [Presentation] Riemann 多様体における弾性曲線の運動方程式 (2017)
  • Author(s): 小磯憲史
  • Organizer: 九州大学数理談話会
  • Invited
• [Presentation] Motion of a thickish elastic wire (2017)
  • Author(s): N. Koiso
  • Organizer: OIST Mini Symposium
  • Place of Presentation: OIST (沖縄, 恩納村)
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Euclid 空間の重調和超曲面 (2015)
  • Author(s): 小磯憲史
  • Organizer: 福岡大学微分幾何研究会
  • Place of Presentation: 福岡大学（福岡県・福岡市）
  • Year and Date: 2015-10-31
  • Invited
• [Presentation] Motion of Elastic Wires in a Riemannian Manifold (2015)
  • Author(s): N. Koiso
  • Organizer: CMC Colloquium
  • Place of Presentation: KIAS (Korea, Souel)
  • Year and Date: 2015-09-24
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] B. Y.- Chen's conjecture on hypersurfaces of Eucledian spaces (2014)
  • Author(s): N. Koiso
  • Organizer: 部分多様体論・湯沢2014
  • Place of Presentation: 湯沢
  • Year and Date: 2014-11-20
  • Invited
• [Presentation] 2 重調和部分多様体 - B. -Y. Chen の予想について (2014)
  • Author(s): 小磯憲史
  • Organizer: 日本数学会 2014 年度秋期総合分科会
  • Place of Presentation: 広島大学
  • Year and Date: 2014-09-25
• [Presentation] 2 重調和部分多様体 - B.-Y. Chen 予想について (2014)
  • Author(s): 小磯憲史
  • Organizer: 第 61 回幾何学シンポジウム
  • Place of Presentation: 名城大学
  • Year and Date: 2014-08-25
  • Invited
• [Presentation] Bi-harmonic hypersurfaces in Euclidean spaces (2014)
  • Author(s): N. Koiso
  • Organizer: The 5th International Workshop on Differential Geometry and Analysis
  • Place of Presentation: 唐津
  • Year and Date: 2014-06-01
  • Invited