接フィルターを持つ幾何構造の研究

Research Project

Project/Area Number	63540002
Research Category	Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
Allocation Type	Single-year Grants
Research Field	代数学・幾何学
Research Institution	Hokkaido University
Principal Investigator	森本徹北海道大学, 理学部 (80025460)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	吉田知行北海道大学, 理学部, 助教授 (30002265) 三波篤郎北海道大学, 理学部, 助手 (30154157) 鈴木治夫北海道大学, 理学部, 教授 (80000735) 山口佳三北海道大学, 理学部, 助教授 (00113639) 田中昇北海道大学, 理学部, 教授 (80025296)
Project Period (FY)	1988
Project Status	Completed (Fiscal Year 1988)
Budget Amount *help	¥2,300,000 (Direct Cost: ¥2,300,000) Fiscal Year 1988: ¥2,300,000 (Direct Cost: ¥2,300,000)
Keywords	接フィルター / フィルター付き多様体 / 幾何構造 / 幾何構造の同値問題 / 重み付きのジェット束 / 包合系
Research Abstract	多様体Mの接束TMの部分束の降下列D= {D^p} peZが、UD^p=TM、D^p=O、〔D^p、D┣D1q〕<D┣D1p+qを満すとき、DをMの接フィルターと呼び接フィルターを備えた多様体(M、D)をフィルター付き多様体と呼ぶ。フィルター付き多様体上の幾何構造およびそれに関連した微分方程式、リー代数等を研究することがこの研究の目的であった。これについて主として次のような成果が得られた。 1.フィルター付多様体(M、D)上の幾何構造、特にその同値問題を扱うための一般的な方法を確立した。特に(M、D)に付随した無限次の悲可挽枠束の概念を導入して、それを基にして、包合的な幾何構造の定式、それらに対する同値問題の解決、任意の幾何構造を包合的なものに延長する方法、幾何構造に対してCartan接続が構成できるための判定条件等を得た。主結果の概要はフランス科学アカデミーの2つのノートに発表された。 2.フィルター付き多様体(M、D)上のフィルター付きベクトル束Eに対して重み付きのジェット束JkEの概念を導入した。これを用いて、(M、D)上の微分方程式をJkEの部分束として把え、この微分方程式に対する形式理論を展開した。特に形式解又は解析解の存在のための条件を、表象の代数的性質を用いて記述する定理(包合系の拡張)を得た。我々の微分方程式の把え方は従来のものに比べ、表象が可換なもの(多項式)から巾零なものへと拡張されていることにより、Dと適合した微分方程式に対してより自然で精密な方法を提供していると思われる。実際、(M、D)上の幾何構造を不変にする無限小変換の微分方程式に対して直ちにいくつかの応用が得られた。重み付きのジェット束の概念はC^∞-カテゴリーでの解析にも非常に有効であると思えるが、この方面の研究はこれからの課題である。