数理物理学におけるスペクトル散乱問題の研究

Research Project

Project/Area Number	63540098
Research Category	Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
Allocation Type	Single-year Grants
Research Field	解析学
Research Institution	The University of Tokyo
Principal Investigator	谷島賢二東京大学, 教養学部, 助教授 (80011758)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	杉田洋東京大学, 教養学部, 助手 (50192125) 伊藤達夫東京大学, 教養学部, 助手 (20151516) 北田均東京大学, 教養学部, 助教授 (40114459) 岡本久東京大学, 教養学部, 助教授 (40143359) 高橋陽一郎東京大学, 教養学部, 教授 (20033889)
Project Period (FY)	1988
Project Status	Completed (Fiscal Year 1988)
Budget Amount *help	¥2,000,000 (Direct Cost: ¥2,000,000) Fiscal Year 1988: ¥2,000,000 (Direct Cost: ¥2,000,000)
Keywords	スペクトル / 散乱問題 / シュレーデンガー方程式 / フーリエ積分作用素 / 固有関数展開 / 非線型拡散方程式 / 解の爆発 / 非線型固有値問題 / Navier-Stokes方程式 / 定常解 / 分岐 / 安定性 / 大偏差原理
Research Abstract	数理物理に現われる線型及び非線型偏微分方程式に対するスペクトル問題、散乱問題を中心に研究を進めた。研究代表者、分担者の得た結果は次の様である。谷島賢二は磁場を含む時間依存型シュレーデンガー方程式の解の存在、一意性及び正則性について調べ、(1)ポテンシャルが滑らかな時には、L^2での基本解をFourier積分作用素として構成し、それが準古典展開をもつこと、Feynmann型の積公式が成り立つことを証明した。それを用いて(2)ポテンシャルが時間空間的に特異性を持つ時でも、発展作用素は一意的に存在し、L^p-smoothingの性質及び適切な正則性を持つことを示した。後者は固有関数展開におけるFoarier係数の依相変化に伴う平滑化とも関連した結果である。北田均は多体型ポテンシャルを含むシュレーデンガー作用素H=-A+VIxiに対する基本解expl-(+H)の時間大域的なフーリエ積分作用等による表現を発見し、それを用いてHに対する固有関数展開定理をV(x)が複素数値の場合、V(x)が滑らかでない場合をこめて証明した。これはFuddeev等による多体系の固有関数展開定理の拡張である。伊藤達夫は非線型放物型方程式の解の爆発問題及び非線型固有値問題における解の分岐、爆発問題を取り扱い、時間あるいは固有値パラメータが爆発時刻に近づく時の爆発解の爆発点の近傍における漸直挙動に対する新しい結果を得た。岡本久はNavier-Stokes方程式の定常解の分岐問題、安定性の問題を線型化作用素に対するスペクトル解析等の手法によって解析し、(1)新しい定常解を発見し(2)その解の安定性を証明した。高橋陽一郎は確立過程に対する大偏差原理の数理物理への適用について研究を進め(1)非回帰的確率過程に対して大偏差調関数と静電容量の間の不等式を拡張し、また(2)非線型拡散方程式に対する爆発問題が大偏差原理と密接な関連をもつことを明らかにした。