Publicly Offered Research
Grant-in-Aid for Transformative Research Areas (A)
要素に不定元を含む行列(シンボリック行列) の正則性判定問題に対する決定性多項式時間アルゴリズムの開発は、理論計算機科学における重要な未解決問題である。本研究では特に、工学システムの構造解析に現れるシンボリック行列に的を絞り、マトロイドや劣モジュラ関数などの離散構造に基づく解析手法を提案する。 さらに計算量理論の枠組みから、工学システムに潜む離散構造を統一的に理解するための離散構造論の確立を目指す。
工学システム解析に現れるシンボリック行列を統一的に取り扱う枠組みとして、多項式写像のジェネリックな点におけるヤコビ行列の解析法を考察した。この枠組みは、グラフの剛性解析における手法を抽象化したものであり、シンボリック行列の階数計算に対して組合せ剛性理論の組合せ的アプローチを一般化することが可能である。今回の研究では、ヤコビ行列によって定まる行列マトロイドと代数幾何学の古典的話題であるセカント多様体の非退化性との関係を明らかにし、セカント多様体の射影の次元と組合せ的疎性マトロイドとの関係を明らかにした。さらに、グラフの剛性解析において基本的な道具である、グラフ詰め込みやグラフの局所操作に基づくシンボリック行列の解析方法を提案した。さらに2022年10月に発表されたMassarentiとMellaによるセカント多様体の同定性条件を利用することで、本研究の枠組みが工学システム解析の次元解析だけではなく、同定性解析にも利用可能であることを示した。また具体的な応用例として、Lp空間におけるグラフ剛性問題や低ランクテンソル補完問題の唯一性などを考察した。これらの問題に対してランダムグラフの剛性解析手法を転用することで、シンボリック行列の平均的な振舞いを解析することに成功した。特に低ランクテンソル補完問題に対しては、ランダムサンプリングによって、低ランク補完が唯一に定まるための十分条件を導出し、既存成果のサンプリング率の改良を行なった。
令和4年度が最終年度であるため、記入しない。
All 2023 2022 Other
All Int'l Joint Research (5 results) Journal Article (3 results) (of which Int'l Joint Research: 3 results, Open Access: 3 results) Presentation (6 results) (of which Int'l Joint Research: 3 results, Invited: 3 results)
arXiv:2305.18990
Volume: -
arXiv:2204.02503
arxiv.org/abs/2204.02537
