| Project Area | Establishing data descriptive science and its cross-disciplinary applications |
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| Project/Area Number |
23H04459
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Transformative Research Areas (A)
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Review Section |
Transformative Research Areas, Section (II)
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
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| Project Period (FY) |
2023-04-01 – 2025-03-31
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| Project Status |
Granted (Fiscal Year 2024)
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| Budget Amount *help |
¥3,250,000 (Direct Cost: ¥2,500,000、Indirect Cost: ¥750,000)
Fiscal Year 2024: ¥1,690,000 (Direct Cost: ¥1,300,000、Indirect Cost: ¥390,000)
Fiscal Year 2023: ¥1,560,000 (Direct Cost: ¥1,200,000、Indirect Cost: ¥360,000)
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| Keywords | 形状汎関数 / 形状微分 / 勾配流 / 分岐解析 / 形状最適化問題 / 摂動論 / 分岐理論 |
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| Outline of Research at the Start |
「形状汎関数」とは, 「形状」を入力引数とし, スカラー(実数)を返す写像のことである. 純粋数学及び応用数学の様々な問題は, 形状汎関数を用いて定式化される. 特に, 形状汎関数に関する最小化問題として記述される問題が多い.
形状汎関数の「かたち」を探る問題は, 自然な問いであり,以上の最小化問題を解くにあたり重要な課題である. また, 形状汎関数の勾配流に従って変形していく形状の「うごき」の研究は, 形状最適化を始めとする様々な応用分野において中心的な位置を占めている.
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度報告する主な研究成果は以下のものである。
① 論文[C.,J.Differ.Equ.,2024]では、パラメータが付いた形状汎関数の臨界形状の局所的な挙動を明らかにする手法を提案した。先行研究では、二相Serrin型優決定問題の摂動解の局所存在とねじり剛性汎関数に対する複合媒質の退化性の関係が指摘されていたが、この論文では一般論の構築に成功した。この結果は、形状汎関数のMorse理論への第一歩であるといえる。
② 論文[C.,J.Geom.Anal.,2024]では、ある連続回転群に対して不変な優決定問題の解の研究を行った。具体的には、形状汎関数の臨界形状として定式化される優決定問題の非退化な解は優決定問題と同じ対称性を共有ことを示した。
③ 論文[C.,Interfaces Free Boundaries,掲載決定(2024)]では、二相複合媒質と三相以上の多相複合媒質との違いを明らかにした。一相、二相の場合と異なり、k相(k≧3)の場合には、境界に課されたk個の優決定条件を満たす球対称でないk相複合媒質が存在することが示された。言い換えれば、三相以上の多相複合媒質における逆問題(境界の観測データから内部の構造を復元するという問題)は極めてill-posedであることが示唆される。
④ 論文[C.,Math.Mag.,掲載決定(2024)]では、形状最適化問題の研究に不可欠な「形状微分」を用いて、ピタゴラスの定理や正弦定理、余弦定理の別証明が与えられた。
また、以上の結果に加えて、船野敬氏、坂口茂氏(東北大学)、A.Henrot 氏、A. Lemenant 氏(ロレーヌ大学)、I. Lucardesi 氏(ピサ大学)との共同研究に基づく、Laplace作用素のNeumann固有値の「包含関係に対する非単調性」に関する研究成果は現在学術雑誌に投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
様々な個別問題に対して、形状微分を有効に用いた形状汎関数の解析が行えた。また、形状汎関数の一般論に関しても進展があった。
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| Strategy for Future Research Activity |
形状汎関数をより精密に扱える理論の構成し、またそれを応用することを今後の研究の推進方策とする。
具体的には、以下の課題に挑戦する予定である。
① 形状微分における「Hadamardの公式」および「構造定理」を一般の位相構造を有する「形状」に拡張する。（例：向き付け不可能でも良い、余次元や境界の有無を問わない部分多様体)
② 形状空間における勾配流の理論を構築する。
③ 形状汎関数またはそれに付随する勾配流・最急降下法アルゴリズムの進展の可視化を行う。
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