2018 Fiscal Year Annual Research Report
| Project Area | Discrete Geometric Analysis for Materials Design |
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17H06461
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
古田 幹雄 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50181459)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
加藤 毅 京都大学, 理学研究科, 教授 (20273427)
五味 清紀 信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (00543109)
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| Project Period (FY) |
2017-06-30 – 2022-03-31
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| Keywords | トポロジー / 指数定理 / ドメインウォール |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Atiyah-Singerの指数定理は閉多様体上の線形偏微分方程式の解空間の次元から決まる「指数」を、ある条件の下でトポロジカルに与える公式である。 本研究のひとつの課題は、ある設定の下で、指数定理を（１）非線形偏微分作用素に対して、また（２）閉ではない多様体、に対して拡張し、ある種の非線形偏微 分作用素に対して解の散乱に相当する現象をトポロジカルに把握することである。ここで（１）としては３，４多様体上のゲージ理論の方程式、（２）としては 端のモデルが閉多様体の被覆空間である開多様体が対象である。
本年度の主要な結果は、（２）の課題の方向についての線形微分方程式に対する研究として、偶数次元の境界をもつ多様体に関するAtiyah-Patodi-Singer指数を表すドメインウォールとエータ不変量を用いた公式の、数学的な証明を与えた。この公式自体は、2017年に、物理学者の深谷英則、大野木哲也、山口哲により、藤川の方法により、多様体が4次元かつ平坦である場合に物理的議論によって得られていた。その公式を示す数学的に厳密な議論を、より一般化された状況に対して与えることができた。この数学的証明のためのアイディアは、幾何学的設定として、所与の偶数次元多様体の境界を一次元高い奇数次元多様体の中で、シリンダー状の端に伸ばした開多様体を、角付きのドメインウォールとして実現することである。（古田および協力研究員松尾信一郎と、山下真由子の両氏、そして物理学者の3名の共同研究による。）この新しい方法の利点は、mod 2 指数に対しても議論の主要部分がそのまま適用可能な点である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
物理学者と数学者との共同研究は期待してはいたものの、実際にどのような形で実現されるかの想定は予めできなかったし、そもそも予め想定されるものではない。実際には予期を超えた成果が、今後の進展が見込める形で得られた。その後、関連したワークショップの准定期的開催が行われ、研究に新たな展開が進みつつある。この部分では「当初の計画以上に進展している」に相当する。これは新学術領域研究の計画班と公募班の研究との共同研究であり、数学と物理の間の領域の開拓にも寄与しているとも評価できると考える。
一方、本研究の課題のひとつの側面である非線形微分方程式のかかわる部分においては、すでに得た成果をまとめる以上の顕著な展開には至らなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
●予期を超える成果があった物理学者との共同研究については、今後もワークショップを準定期的に開催し、協力を推進する。
●十分な展開に至らなかった非線形微分方程式のかかわる部分においては、マンパワーの不足が否めなかった。若手の協力研究員を数名加え、若手人材の育成を行う。
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