2020 Fiscal Year Annual Research Report
| Project Area | Discrete Geometric Analysis for Materials Design |
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17H06461
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
古田 幹雄 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50181459)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
五味 清紀 東京工業大学, 理学院, 教授 (00543109)
加藤 毅 京都大学, 理学研究科, 教授 (20273427)
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| Project Period (FY) |
2017-06-30 – 2022-03-31
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| Keywords | Bott周期性 / K群 / スペクトル切断 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Atiyah-Singerの指数定理は閉多様体上の線形偏微分方程式の解空間の次元から決まる「指数」を、ある条件の下でトポロジカルに与える公式である。 本研究のひとつの課題は、ある設定の下で、指数定理を（１）非線形偏微分作用素に対して、また（２）閉ではない多様体、に対して拡張し、ある種の非線形偏微 分作用素に対して解の散乱に相当する現象をトポロジカルに把握することである。ここで（１）としては３，４多様体上のゲージ理論の方程式、（２）としては 端のモデルが閉多様体の被覆空間である開多様体が対象である。
・昨年度の主要な成果は格子ゲージ理論におけるWilson-Dirac作用素の指数と連続理論におけるDirac作用素の指数を結び付けたことであったが、今年度は、前者をK理論的に定式化する記述方法を整備した。
・今年度の主要な成果として、K理論において基本的なBott周期性の、スペクトル切断による新しい別証明を与えた。数年前に、物性物理のバルクエッジ対応の考察にヒントを得てBott周期性のいわば"量子力学的証明"を得ていた。今回は、その証明から無限次元的考察を排除し、完全に有限次元の線形代数の範疇で証明を与えた。S^1上の微分作用素に対して、スペクトル切断の明示的な構成を行い、有限次元近似構成の基本的手段として用いる。この構成は、複素K群の周期性のみならず、実のKO群、あるいはKR理論の非自明な懸垂についての周期性に直接拡張可能である。
・上のスペクトル切断の構成の動機は上記（１）での有限次元近似への応用である。しかしこれについては今年度は明確な進展はなかった。
・物理学者の深谷英則・大野木哲也・山口哲の3氏および数学者の松尾信一郎・山下真由子の2氏との共同研究を進め。Atiyah-Patodi-Singer境界条件におけるmod 2 指数のドメインウォールを用いた具体的な記述を与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
●今年度は予定していた国際研究集会の計画をコロナの影響で取りやめた。それに限らず、3人以上のメンバーが一堂に会して広い黒板を前にして対面で議論を行う機会が持てなかった。代表者はオンラインでの講義の準備等に予想以上の労力が必要であった。代表者は本研究を進めるために「K理論的な定式化の記述方法の整備」のプロジェクトは、大学院向けの講義を用いた発表と軌を一にして行ったが、十分には行えなかった。
●昨年度に引き続く物理学者と数学者との共同研究は、準定期的なオンラインミーティングによって行った。対面とは質の異なる議論となり、長時間連続して行うことは難しかった。
●本研究の非線形作用素とかかわる側面については、新しい可能性のアイディアは得たが（スペクトル切断を"effective"に構成することによる可能性）結果的には、その実行を試みるまでには至らなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
●2020年度に開催できなかった国際研究集会の代替の集会を2021年度に開催したい。オンラインが適切か否かを検討する。
●これまで若手の協力研究員を適宜追加し、若手人材の育成を行ってきた。概ねこの方針は有効に働いてきたと思われる。この方針を地道に堅持する。
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