2012 Fiscal Year Annual Research Report
Deepening analysis methods for limits of computation through integration with optimization techniques
| Project Area | A multifaceted approach toward understanding the limitations of computation |
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24106005
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
加藤 直樹 京都大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (40145826)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
岩田 覚 東京大学, 情報理工学(系)研究科, 教授 (00263161)
岡本 吉央 電気通信大学, 情報理工学(系)研究科, 准教授 (00402660)
神山 直之 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 准教授 (10548134)
来嶋 秀治 九州大学, システム情報科学研究科(研究院, 准教授 (70452307)
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| Project Period (FY) |
2012-06-28 – 2017-03-31
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| Keywords | 計算下界 / 計算上界 / 最適化理論 / 劣モジュラー関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. ブール関数の論理式サイズの下界の改良に関する最適化理論の適応可能性を探った．特に，最適化手法における多面体的アプローチと非常に相性のよい長方形限界に関する調査を行い，Uenoによって提案された劣加法性限界を双対問題の視点から調査した．
2. マッチングの拡張であるT-ジョインに関連した最小値最大化問題を取り上げ，線形計画緩和に基づく，近似比 2/3のアルゴリズムを設計した．同様のアプローチを取る限りは，近似比が改善できないことも明らかにした．
3. 最適化技法との融合による計算限界解析法の深化に向け，特に，「問題構造」x「計算下界」に関連するこれまでの研究を整理し，今後の展開の準備を行った．1985年にJohnsonによって未解決問題として紹介されていた区間グラフの部分グラフ同型性判定の計算量について，NP完全性を示した．本成果ではより制限されたグラフクラスの真区間グラフに対してNP完全性を示している．1983年のGraver達の本に未解決問題として紹介されていた，次数４の剛性サーキットの２つのハミルトン閉路への分解可能性問題を否定的に解決した．重要な未解決問題である(NPかつco-NP) vs Pについて，数え上げ計算量による議論の展開に着手した．特に乱択計算量のクラスBPPを通じた計算下界の証明技法について，最適化手法や確率的手法の適用について検討を行った．
4. 指数時間計算可能性における帰着の最適化を主に考察した．特に，充足可能性問題，集合分割問題，集合被覆問題，シュタイナー木問題，部分集合和問題の重要な問題群に対する指数時間計算可能性の依存性および同等性を証明した．更に，これらの概念と離散最適化問題の拡張定式化の関連の調査を開始した．また，対話証明系に現れる離散最適化問題の半正定値計画緩和に対する乱択丸め技法とランダムウォークによる解法の関連の調査も開始した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
目標としていた計算下界研究における最適化理論の適用についての調査は十分おこなうことができた。いくつかの主要な研究課題に関して具体的な達成度を以下に記述する。
1. 論理式サイズの下界の証明に関する既存研究の調査はおおむね完了したといえるが，長方形限界と異なった下界証明手法であるランダム制限を用いた手法と，長方形限界との関連性を明らかにするといった課題は残されている．
2. これまでに多くの研究者が取り組んでいた劣モジュラ関数最大化に関連して，最近，イスラエルの研究者達が，画期的な単純な方法に，近似比 1/3 の決定性アルゴリズムと近似比1/2 の確率的アルゴリズムを設計した．この手法を劣モジュラ関数の拡張に当たる双劣モジュラ関数の最大化に拡張した．このように，劣モジュラ最適化の近似可能性に関する研究は順調に進んでいる．
3.「問題構造」x「計算下界」に関連してであるが，これまでの研究を整理し，新たな展開の準備を行い、おおむね順調に進展しているといえる．
4. 指数時間計算可能性における帰着の最適化について，出版可能な結果は既に得られている．これについては更に進化させていく予定である．また，指数時間計算可能性と拡張定式化の関連についても，B02版との協同を以って進める端緒は得られている。
以上から、全体的な計画はおおむね順調に進展している．また、半正定値計画緩和に関する研究は開始したばかりであるが，他班との連携も視野に入れて継続していく予定である。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究の実施においてはA01班、B02班、C03班や公募研究の研究者たちと緊密な連携を取りながらおこなう．具体的な研究計画は以下の通りである．
(1) 昨年度最適化理論の適応可能性を探った。ブール関数の論理式サイズの下界の改良に関する研究の推進を行う．昨年度は，最適化手法における多面体的アプローチと非常に相性のよい長方形限界に関する調査を行ったが，本年度はこの長方形限界と異なる下界証明手法である，ランダム制限を用いた手法との関連性を明らかにすることを一つの目標とする．研究はC03班と連携しながら進める．(神山）
(2) 指数時間厳密アルゴリズムに対する計算限界解析の研究を推進する．特に，離散最適化問題の拡張定式化に対する帰着の効率性に対して，指数時間厳密アルゴリズムに対する計算限界解析で培われた手法を援用することで，拡張定式化に対するサイズの下界を改善することを目標とする．この研究はB02班と連携しながら進める。(岡本を中心として班全員が取り組む）
(3) 劣モジュラ最適化問題の中で，定数近似解法が与えられている問題と，より高いオーダーの情報理論的下界が与えられている問題とに分類する．特に，定数近似解法が与えられている問題群に対して，その設計手法に共通した性質を計算上界の観点から探る．さらに，劣モジュラ最適化における既存のの定数近似アルゴリズムを，劣モジュラ関数の一般化に当たる双劣モジュラ関数を用いて記述される枠組みに拡張する．研究実施にあたって
は、われわれの計画班と関係の深い公募研究の塩浦氏とも連携する．（岩田、加藤）
(4) 重要な未解決問題である(NPかつco-NP) vs Pについて，数理計画法ならびにアルゴリズム設計理論の観点から取り組む．特に両者の中間的な計算量クラスであるBPPを通じて，数え上げ計算量に着目した議論を進める．C03班との連携を図る．(来嶋、神山）
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[Presentation] ラーマングラフの局所遷移可能性2013
Author(s)
タウフィックラチマン，山内由紀子, 来嶋秀治, 山下雅史
Organizer
日本オペレーションズ・リサーチ学会2013年春季研究発表会
Place of Presentation
東京大学
Year and Date
2013-03-05 – 2013-03-06
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[Presentation] Universal Point Subsets for Planar Graphs2012
Author(s)
Patrizio Angelini, Carla Binucci, William Evans, Ferran Hurtado, Giuseppe Liotta, Tamara Mchedlidze, Henk Meijer and Yoshio Okamoto
Organizer
23rd International Symposium on Algorithms and Computation (ISAAC 2012)
Place of Presentation
National Taiwan University（台湾）
Year and Date
2012-12-20 – 2012-12-20
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[Presentation] Hitting time and cover time on dynamic graphs2012
Author(s)
Kosuke Koba, Yukiko Yamauchi, Shuji Kijima, Masafumi Yamashita
Organizer
The 36th Australasian Conference on Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing (ACCMCC)
Place of Presentation
Sydney, Australia
Year and Date
2012-12-10 – 2012-12-14
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