2013 Fiscal Year Annual Research Report
| Project Area | A multifaceted approach toward understanding the limitations of computation |
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| Project/Area Number |
24106006
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
AVIS David 京都大学, 情報学研究科, 教授 (90584110)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
天野 一幸 群馬大学, 理工学研究科, 教授 (30282031)
上野 賢哉 京都大学, 白眉センター, 助教 (70586081)
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| Project Period (FY) |
2012-06-28 – 2017-03-31
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| Keywords | 国際研究者交流:カナダ・ベルギー・チェコ・ドイツ / 数理計画 / 線形計画 / 整数計画 / 多面体 / 計算限界 |
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| Research Abstract |
P=NPを証明するための試みとして，NP困難な問題に対して多項式サイズの線形計画法の定式化を与えるという一連の研究が1980年代後半頃に行われてきた．この試みを否定するため，Yannakakis(1991)は次元拡張によって線形計画法の定式化がどれだけ小さくできるかを議論した．拡張複雑度(extension complexity) とは，そのような次元拡張を行った定式化(extended formulation)の最少サイズを測るものである．Fiorini ら(2012) は，有名な複数のNP困難な問題（巡回セールスマン問題，最大カット問題，最大安定集合問題）の線形計画問題の定式化が，次元拡張を用いたとしても多項式サイズでは表現できないことを証明した．P≠NP予想へ向けた重要なステップとなったFioriniら(2012)の成果を，本研究では昨年度に引き続き、以下の観点から進展を与えた．
P に属する問題に対して，拡張線形計画問題の指数下界を証明することも重要な課題の一つである．Rothvoss(2013)は，Pに属するマッチング問題に対して，拡張線形計画問題に対する指数下界を証明することに成功した．したがって，拡張複雑度を使うことによっては，P≠NPを証明することはできない．そこで，ある不等式系は独立オラクルによって分離され拡張複雑度の計算から除外されるような，一般化された拡張複雑度を提案し，拡張線形計画問題により多項式時間で解けるようなPに属する全ての問題，そして，マッチング問題のNP困難版で指数の拡張複雑度を持つ例を与えた．関連して，Pに属する理想グラフの安定集合問題に対する拡張線形計画問題の複雑度に対して下界を与えることで有名な「クリークと安定集合問題の通信問題」の非決定的通信計算量に対して，既存の結果を更新する解析手法を与えた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要で述べた研究成果は，プロジェクトのゴールへ向けて重要な進展となっている．
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究計画は，大規模な計算機実験による解析を積極的に取り入れた，数理計画手法をコア技術とする新たな計算限界解析手法の構築を目指すものである．幾何的数理手法や多面体理論に実績を持つAvisと計算限界解析を専門とする天野，上野に加え研究協力者として海外から参画する福田，Deza，Friedmann，Fiorini，Tiwaryの連携により，昨年度に引き続いて「組合わせ最適化問題の計算限界解析法の構築」と「計算限界証明と緩和問題の強度解析」の二つの柱を軸に，研究を推進していく予定である．
これらの継続的に進めていく研究に加えて，本年度は新しく大規模数理計画を実際に解くアルゴリズムに関する研究を推進していく．これは，Impagliazzoら(2013)により研究されてきた特定の回路計算量（深さが制限された閾値回路）に対する限界を証明するための技法を応用したものである．計算限界証明で開発されてきた技術をアルゴリズム設計に応用し，さらに，開発したアルゴリズムを計算限界証明（２本柱の１つである論理式の解析）へと適用するという循環的な技術開発を行いながら研究を推進していく計画である．
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