円分体の類数関係式

1991 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 02640063
• Research Institution: Saga University
• Principal Investigator: 上原 健 佐賀大学, 理工学部, 教授 (80093970)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 河合 茂生 佐賀大学, 教育学部, 助教授 (30186043) ; 神崎 正則 佐賀大学, 教養部, 教授 (70039262) ; 古庄 康浩 佐賀大学, 理工学部, 教授 (00039281) ; 市川 尚志 佐賀大学, 理工学部, 講師 (20201923) ; 中原 徹 佐賀大学, 理工学部, 教授 (50039278)
• Keywords: 円分体 / 類数 / 合同式 / 2次体 / イデアル類群 / 単数群 / 素因数分解アルゴリズム / 楕円曲線

Research Abstract

平方因子を含まない整数mについて、判別式が8mで割れるすべての2次体の類数および基本単数の間の、2の高いベキを法とする線形的合同関係式を大幅な改良に成功した。この結果は、今まで知られているこの種の合同式をほぼすべて網羅していることも確認できた。また、ヤコビ和の2進展開の計算により複数個の2次体の間の類数、基本単数、イデアルを含む別種の合同式を示した。この研究で開発した計算手法は本研究の目的の一つであって、この手法をを奇素数pに対して適用すれば、更に、一般の円分体のpの高いベキを法とした、類数関係式が提示できると確信している。これらの研究と並行して、素因数分解アルゴリズムに興味と持ち、3次式を用いた素因数分解アルゴリズムを研究した。これは現在成功したと伝えられている一般数体アルゴリズムとの関連を検証している。また、楕円曲線法アルゴリズムに関して、楕円曲線上の点全体が加法群であることの簡明な2つの別証明を1つは初等的解析と簡単な幾何、代数を用いた方法、2つ目は数式処理ソフトMathematicaを利用して計算機で与えた。さて、分担研究者も各課題について十分な研究成果を得た。その中で、Kummer拡大塔のideal類群について岩澤理論の拡張を試み岩澤不変量の評価を与えた研究、実2次体の解析的類数公式の算術的表示を一般化した研究、抽象Wiener空間論においては、確率面積の骨格は一意的に定まらないことを示した研究は特筆される。

Research Products

• [Publications] T.Uehara: "On congruences for Jacobisums and class numbers of quadratic fields"
• [Publications] T.Nakahara: "An arithmetical expression of Dirichlet's classーnumber formula"
• [Publications] T.Ichikawa: "Algebraic groups associated with abelian varieties." Math.Ann.289. 133-142 (1992)
• [Publications] Y.Furusho: "Existence of positive entire solutions for weakly coupled semilinear elliptic systems" Proc.Royal Soc.Edinburgh. 120A. (1992)
• [Publications] M.Kozaki: "On mean value theorems for small geodesic spheres in Riemannian manifolds" Czechoslovak Math.Jour.
• [Publications] S.Kawai: "Concerning a type of Sobolev inequality on the sphere" Math.Ann.42. (1992)