エルゴ-ド理論と数論

1990 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 02640187
• Research Institution: Tsuda College
• Principal Investigator: 田中 茂 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (70055317)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 太田 香 津田塾大学, 学芸学部, 助教授 (60147006) ; 三鳥川 寿一 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (80055318) ; 丹羽 敏雄 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (70025419) ; 伊藤 俊次 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (30055321)
• Keywords: エルゴ-ド理論 / ディオファンタス近似 / 複素連分数展開 / フラクタル / サブスティテュ-ション / 非同次近似

Research Abstract

ディオファンタス近似とエルゴ-ド理論について、研究計画調書の計画にのっとり、今年度内につぎの結果が得られた。
(1)複素連分数展開について。ガウス数体上の田中アルゴリズムをもちいて、複素数αがこのアルゴリズムで周期的になるための必要十分条件が、αがaz^2+bz+c=0,(ただしa,b,cez(i))の解となることである、という定理の証明が、伊藤および立井(大学院生)によって得られた。また、類似の結果が、アイゼンシュタイン数体の上でも証明できることがわかり、現在、論文を作成中である。
(2)フラクタル,サブスティテュ-ション,連分数の関係。これらに関連しては、平面上のフラクタル曲線の構成がすでに知られている。これを一般化した、多次元空間上のフラクタル曲面の構成について、その一般的方法が、伊藤および杉田(大学院生)によって確立された。これはデッキングの方法の一般化として、きわめて汎用性のあるものと思われる。
(3)非同次近似のアルゴリズムの周期点について。(α,β)が非同次近似のアルゴリズムに関して周期点になることの代数的構造については、すでに、伊藤および原によって特徴づけられている。このことが、多変数の2次形式のリダクション定理と対応づけられることが、最近、伊藤および立井によって証明された。これは、ガウスの2次形式のリダクション定理の拡張として、興味深いものである。

Research Products

• [Publications] H.Tachii and Sh.Ito: "On a complex continued fraction expansion" Journal of Number Theory.
• [Publications] M.Sugita and Sh.Ito: "On SelfーSimilar Space Packings" Japanese Journal of Industrial and Applied Mathematics.
• [Publications] H.Tachii and Sh.Ito: "Diophantine algorithm and the reduction theory of ternary forms" Tokyo Journal of Mathematics.