対数型ポテンシャル核とその応用

1992 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 03452009
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 伊藤 正之 名古屋大学, 教養部, 教授 (60022638)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 長井 英生 名古屋大学, 教養部, 助教授 (70110848) ; 井原 俊輔 名古屋大学, 教養部, 教授 (00023200) ; 佐藤 健一 名古屋大学, 教養部, 教授 (60015500) ; 鈴木 紀明 名古屋大学, 教養部, 講師 (50154563) ; 村井 隆文 名古屋大学, 理学部, 助教授 (00109266)
• Keywords: ハント合成核 / 対数型核 / スペクトラルシンセシス / 解析容量 / 劣調和関数の非可積分性 / ポテンシャル核のレゾルベント / 回帰的生成半群 / オーレンスタイン・ウーレンベック型過程

Research Abstract

局所コンパクト群上の合成核ポテンシャル論において、優越原理を満たす合成核全体がハント合成核全体の閉包と一致するかというよく知られた問題について、対数型核の性質を用いて、最終的な解答を与えた。また、これと関連して、優越原理を満たすポテンシャル核のポテンシャルの性質として、常にスペクトラルシンセシスが成立することを示してポテンシャル核のレゾルベント、生成半群を精密にするとともに、これまで除外集合つきで成立していたポテンシャル論的性質が、除外集合なしに成立することがわかる。対数型核の掃散の方法を参考にした解析容量の弧による変分は、解析容量の劣加法性に関する研究を大きく進歩させ、種々の例を構成する有力な方法を得た。対数型核の理論を古典的な調和関数の理論と関連させ、全ての0でない劣調和関数が非可積分になる領域の形状を決定するとともに、正則境界点とグリーン関数の準有界性との関係を明らかにした。この研究は、偏微分方程式の研究と密接な連係のもとに実施された。
対数型核は、その生成半群が回帰的になるか非再帰的になるかの研究とも言うことができる。これから確率過程論と密接に結びつく、オーレンスタイン‐ウーレンべック型過程の再帰性の判定条件を、ずれの係数行列と抽分形で与えたが、これは対数型ポテンシャルと関連する結果である。さらに、ディリクレ形式を通じて、ポテンシャル論と関連する確率制御問題の最適拡散過程の研究、ポテンシャル論的容量と関連させた情報容量の研究がある。これらの研究は、解析的側面からの知見のみならず、代数的側面、幾何学的側面からの知見を得て実施された。

Research Products

• [Publications] M.Ito: "On the spectral synthesis of potentials with respect to continuous function-kernels" Preprint series, Dept. of Math. College of Gen. Educ., Nagoya Univ.15. 1-22 (1992)
• [Publications] T.Murai: "Analytic capacity for arcs" Proc. Int. Nat. Conf. Math. Kyoto 1991. 1. -911 (1991)
• [Publications] T.Murai: "The arc-length variation of analytic capacity and a conformeal geometry" Nagoya Math. J.125. 151-216 (1992)
• [Publications] N.Suzuki: "Nonintegrability of superharmonic functions" Proc. Amer. Math. Soc.113. 113-115 (1991)
• [Publications] K.Sato and M.Yamazato: "Remarks on recurrence criteria for processes of Ornstein- Uhlenbeck type" To appear in Proc. Conf. Functional Analysis and related Topics 1991. (1993)
• [Publications] H.Nagai: "Ergodic control problems on the whole Euclidean space and convergence of symmetric diffusions." Forum Math.4. 159-173 (1992)