| Research Abstract |
局所整域Aが強鎖状である事と、Aが擬清純である事とは同値である。従って、Aが擬清純であれば、Aの任意の素イデアルPに対し、A/Pも擬清純である。が、Aが清純であれば、Aの任意の素イデアルPに対し、A/Pも清純であるかどうか、は長い間未解決であった。しかし、BrodmannーRotthausと小駒は、ほぼ同時独立に、反例を構成した。我々は、彼らの例を次のように統一的に再構成した。先ず、Rotthaus、小駒、Heitmann、Brodmann-Rotthaus等に負う、与えられた完備局所環を完備化に持つ局所整域の基本構成法、及び、特異な素元を持つ局所整域の構成法を、簡易化した。即ち:定理1.K_0を可算な任意標数の体。KをK_0上可算次数純超越拡大体。F_1(Z),...,F_r(Z)(] SY.rscharw. [)K_0[Z_1,...,Z_m]を定数項を持たないK_0上m変数多項式。とすると、ネター局所整域(A,m)で、次の条件を満たすものが構成できる。但し、n>m。1)A D4^ D4(=Aの完備化)→ D4〜 D4K[[ζ D21 D2,...,ζ D2n D2]]/(F D21 D2(ζ),...,F D2r D2(ζ))、2)P D4^ D4=(ζ D21 D2,...,ζ D2m D2)A D4^ D4はA D4^ D4の素イデアルで、P D4^ D4∩A=(0)、3)任意の(0)と異なる素イデアルpに対し、A/pはK上本質的有限型。
定理3.K_0を可算な任意標数の体。KをK_0上可算次数純超越拡大体。G_1(X,Z),...,G_r(X,Z)(] SY.rscharw. [)K_0[X,Z_1,...,Z_m]を定数項を持たないK_0上m+1変数多項式。F_j(Z)=G_j(0,Z)(] SY.rscharw. [)K_0[Z_1,...,Z_m]とし、φ D4〜 D4:K D20 D2[X,Z,Q][T D21 D2,...T D2r D2]→K D20 D2[X,Z,Q][ D7G D21 D2(/)Q D7,..., D7G D2r D2(/)Q D7],φ:K D20 D2[Z,Q][T D21 D2,...,T D2r D2]→K D20 D2[Z,Q][ D7F D21 D2(/)Q D7,..., D7F D2r D2(/)Q D7]をK_0[X,Z,Q](K_0[Z,Q])代数射T_j→G_j/Q(T_j→F_j/Q)とする。いま、Ker(] SY.bdintg. [)=K_0[Z,Q](] SY.crosprd. [)K_0[X,Z,Q]Ker(] SY.bdintg. [)であれば、ネター局所整域(A,m)で、次の条件を満たすものが構成できる。但し、n>m。1)A D4^ D4(=Aの完備化)→ D4〜 D4K[[X,ζ D21 D2,...,ζ D2n D2]]/(G D21 D2(X,ζ),...,G D2r D2(X,ζ))、2)q D4^=(X,S D21 D2,...,ζ D2m D2)A D4^ D4はA D4^ D4の素イデアルで、q D4^ D4∩A=XA、3)A D4^ D4/XA D4^ D4(=A/xAの完備化)→ D4〜 D4K[[ζ D21 D2,...,ζ D2n D2]]/(F D21 D2(ζ),...,F D2r D2(ζ))、4)任意の(0)、xAと異なるAの素イデアルpに対し、A/pは上本質的有限型。
次に、Brodmann-Rotthausと小駒による上述の例が、共にこの簡易化された構成法の条件を満たすことを、Macaulay(=コンピューターによるイデアル計算プログラム)により示した。我々は、この結果を、1992年3月、数理解析研究所短期共同研究集会「Blow-up ringsの環論的研究」、及び、1992年4月、モロッコのフエズ大学で開催された、「Colloque International d'Algebre Commutative」で発表した。
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