結び目と三次元多様体論

1991 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 03640094
• Research Institution: Tsuda College
• Principal Investigator: 福原 真二 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (20011687)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 坂本 幸一 津田塾大学, 学芸学部, 助教授 (40090518)
• Keywords: 結び目 / 絡み目 / 位相不変量 / 多様体 / トポロジ- / 結び目不変量

Research Abstract

三次元球面内の結び目の分岐被覆として様々な三次元多様体が得られる。特に次数が2の分岐被覆から得られる三次元多様体とその分岐点集合である結び目との間には重要な関連がある。研究者は結び目のプラット表示を考えその同値数の不変量を新たに発見した。このことは、この分岐被覆である三次元多様体のヘ-ゴ-ド分割の同値数の不変量も得たことになる。この新しい不変量の導入により、従来では区別されなかったプラットの同値類が区別出来るようになった。以下この新しい不変量を得るために用いた方法を述べる。プラットの同値類はブレイドの同値類と考えることが出来る。ブレ-ド群の中のある部分群に関してその両側剰余類がプラットの同値類に対応している。研究者はその部分群の性質を調べることによってプラットが同値になるためには、ある多項式不変量が一致する必要があることを示した。この不変量は、一番元の形では2あるいは多項式不変量が導き出される形になっている。この不変量の特徴としては、単なる数値不変量でないためプラットを区別する上で強力である点である。半面計算するのはある意味で簡単でない。しかし、計算のためのアルゴリズムは存在するのでコンピュ-タ-で計算することは可能である。研究者らは実際手計算で1週間あまりかかった計算を、reduce等の数式処理ソフトウェアを使うことによりわずかな時間で計算可能であることを確めている。コンピュ-タを使うことにより、この不変量はプラットあるいは結び目を研究する上で実用的な手段として活用されることを期待している。

Research Products

• [Publications] Shinji Fukuhara: "An estimate for the unknotting numbers of torus knots" Topology Apple. 38. 293-299 (1991)
• [Publications] Shinji Fukuhara: "A special hermition form of a knot" Proceedings of international cenference on KNOTS 90. (1992)
• [Publications] Shinji Fukuhara: "Inuariants for oquiualevce classes of plats"