2003 Fiscal Year Annual Research Report
直交多項式のスペクトル変換に基づく新しい直交関数系の構成
Project/Area Number |
03J05102
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Research Institution | Kyoto University |
Principal Investigator |
向平 敦史 京都大学, 情報学研究科, 特別研究員(DC2)
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Keywords | 直交多項式 / 双直交有理関数 / スペクトル変換 / 可積分系 / 離散可積分系 / 双線形化法 / 行列式構造 |
Research Abstract |
RI, RII双直交有理関数は多点Pade近似との関連で導入されたもので,直交多項式やLaurent双直交多項式のある拡張と見なせる.最近Spiridonov-ZhedanovはRII有理関数のスペクトル変換を考察し,それに自己相似性を課すことで楕円超幾何関数による表示をもつRII有理関数(楕円有理関数)を導出した.この楕円有理関数はもっとも重要な直交多項式の1つであるAskey-Wilson多項式のRII有理関数における対応物であり,また楕円超幾何関数自体の研究がほとんどなされていないこともあって,数学や物理の領域の研究者の関心を集めている. 本研究の目的は,RI, RII有理関数のスペクトル変換とその逆変換の両立条件より得られる離散可積分系(RI, RII chain)に着目し,双線形化法を用いてその行列式構造を明らかにし,さらにその結果をもとに新しい歪直交有理関数を構成することである.本年度は研究の第1段階であるRI, RII chainの行列式構造の解明を行った.具体的な実施状況は以下の通りであった. 1.行列式表示によるRI, RII有理関数の定式化 2.以降のステップの準備として,RI, RII有理関数の行列式表示を,適切な基底を導入することで与えた.さらに,RI, RII有理関数のみたすさまざまな関係式をこの行列式表示に基づいて再構成した. 2.タウ関数の導入およびRI, RII chainの従属変数変換の導出 双線形化法におけるキーは適初な従属変数変換を見出すことである.ここでは,1.のステップで導入した基底に対応するモーメント行列の行列式としてタウ関数を導入し,発見的手法によりRI, RII chainのタウ関数による従属変数変換を導出した.この際計算機を購入しそれを用いた. 3.RI, RII chainの双線形方程式の導出 2.のステップで得た従属変数変換をRI, RII chainに適用し,デカップリングの操作を行ってタウ関数のみたす双線形方程式を導出した.さらに,これらの双線形方程式が行列式の2次の恒等式に帰着することの証明を与えた.
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Research Products
(1 results)