多様体上の葉層構造と力学系

1992 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 04640026
• Research Institution: Tokyo Institute of Technology
• Principal Investigator: 増田 一男 東京工業大学, 理学部, 助教授 (20016158)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 宮岡 礼子 東京工業大学, 理学部, 助手 (70108182) ; 小島 定吉 東京工業大学, 理学部, 助教授 (90117705) ; 岡 睦雄 東京工業大学, 理学部, 教授 (40011697) ; 森田 茂之 東京工業大学, 理学部, 教授 (70011674) ; 丹野 修吉 東京工業大学, 理学部, 教授 (10004293)
• Keywords: 葉層構造 / アフィン構造 / シンプレクティック多様体 / コンタクト多様体 / CR構造 / Godbillon-Vey不変量 / 力学系 / 射影構造

Research Abstract

多様体の葉層構造の葉の法方向に関しては色々な不変量が定義されて多くの研究があるが、葉の接方向に関する研究は余り多くない。接方向にアファイン構造を持つ場合には各葉がアファイン多様体になり、その上のアフィン関数が考えられるが、最も基本的なトーラスの場合、アフィン関数はコンパクト葉の上の値で完全に決定され、関数空間の次元がホロノミーによって決まる状況がほぼ完全に解明された。シンプレクティク多様体のラグランジ部分多様体による葉層構造の各葉は接方向にアフィンであり、任意のアフィン多様体はこのようにして実現される。又、コンタクト多様体のルジャンドル部分多様体による葉層構造の各葉は接方向に射影構造を持ち、任意の射影多様体はこのようにして実現される。これらのことが同次座標を使うことにより平行して見通しよく示された。コンタクト多様体の典型的な例であるリーマン多様体の単位接束はCR構造を持つがこれのある(1,3)型のゲージ不変量が消えるための必要十分条件は、リーマン多様体が定曲率-1であることが示された。葉層構造の不変量として最初に発見されたGodbillon-Vey不変量は位相不変が、又G-Vが0なら葉層構造が0に同境かという2大問題はC^<1+α>、P.L.葉層にまでGVを拡張し、かなり研究が進展した。一次元葉層構造と考えられる力学系に関しては、平面の位相同型写像が力学系(=流れ)にうめ込めるかという問題が、写像の非ハウスドルフ集合と関連して研究された。又3次元多様体上の法方向にアフィンである流れで完備であるものについて古典的なり一群を用いて多くの例を構成し、ほぼ分類が完成された。

Research Products

• [Publications] Shukichi TANNO: "The standard CR structure on the unit tangent bundle" Tohoku Math.J.44. 535-543 (1992)
• [Publications] Mutsuo OKA: "Symmetric plane curves with nodes and cusps" J.Math.Soc.Japan. 44. 375-414 (1992)
• [Publications] Takashi INABA: "Tangentially affine foliations and leafwise affline functions on the torus" Kodai Math.J.
• [Publications] Reiko MIYAOKA: "The linear isotropy group of G_2/SO(4),the Hopf fibering and isoparametric hypersurfaces" Osaka J.Math.
• [Publications] Sadayoshi KOJIMA: "Polyhedral decomposition of hyperbolic3 ‐manifolds with totally geodesic boundary" Adv.Stud.Pure Math.20. 93-112 (1992)
• [Publications] Myung Ho KIM: "Homotopy invariants of monorientable 4‐manifolds" Trans.Amer.Math.Soc.333. 71-81 (1992)