アーベル多様体のモジュライの研究

1992 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 04640099
• Research Institution: Nihon University
• Principal Investigator: 佐々木 隆二 日本大学, 理工学部, 助教授 (50120465)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 古津 博俊 日本大学, 理工学部, 講師 (60202298) ; 小林 英恒 日本大学, 理工学部, 教授 (40060024) ; 上坂 洋司 日本大学, 理工学部, 教授 (30059828) ; 松元 重則 日本大学, 理工学部, 教授 (80060143) ; 山中 健 日本大学, 理工学部, 教授 (60059061)
• Keywords: ジーゲル上半空間 / モジュラー群 / アーベル多様体 / テータ函数 / 超楕円曲線 / ヤコビ多様体

Research Abstract

モジュラー群Sp_<2g>(Z)=Γ_g(1)は、次Siegel上半空間IH_gに作用する。モジュラー群の合同部分群Γによる商空間IH_g/Γを、Γに関するアーベル多様体のモジュライと言うのである。我々の研究目標は、これらモジュライの構造を明らかにすることである。モジュライを研究する手段として、所謂Riemannのテータ定数V[0^^a](z)(a∈Q)を用いるのが我々の手法である。そこで取扱われる合同部分群は、レベル(2,4)付の群Γ_g(2,4)である。Θ_g:IH_g/Γ_g(2,4)→IP^n(n=2^g-1)をz∈IH_gに対し、比(…,V[0^^a](2z),…)(a∈1/2/Z)を対応させる写像とする。超楕円曲線のJacobi多様体のなす部分多様体に制限すると、Θ_gは単射である。これが従来の成果であった。この結果よりΘ_2,Θ_3の単射性が導かれた。
IH_2/Γ_2(2,4)の佐武コンパクト化が、3次元射影空間IP^3と同形であることが、今回新しく得られた結果である。その結果を用いることにより、既にIgusaによって得られていることであるが、Siegelモジュラー形式の次数環A(Γ_2(2,4))の生成元が容易に得られる。IH_3/Γ_3(2,4)の佐武コンパクト化は、7次元射影空間IP^7の次数16の超曲面であることは分かる。これを利用し次数環A(Γ_3(2,4))の構造を調べているがまだ成功していない。
レベル2のモジュライIH_g/Γ_g(2)のなかで、超楕円曲線のJacobi多様体全体のなす部分多様体では、連結成分と既約成分が一致することがΘ_gの"単射性"の証明に用いた事を利用して示された。

Research Products

• [Publications] Ryuji Sasaki: "Some remark on the moduli space of principlly polarized abelian varieties with level (2,4)-strueture" Compositio Mathematica. 85. 87-97 (1993)
• [Publications] Ryuji Sasaki: "Very ample invertible sheaves of new type on ablian varieties" Tsukuba Jour.of Math.(1993)
• [Publications] Hidetsune Kobayashi: "The multiplicity of a solution system of algebraic equations" Proceedings of the 1992 international workshop on mathemtics mechanization. 53-64 (1992)