非線形楕円型及び放物型偏微分方程式の研究

1992 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 04640189
• Research Institution: Chuo University
• Principal Investigator: 石井 仁司 中央大学, 理工学部, 教授 (70102887)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 三松 佳彦 中央大学, 理工学部, 助教授 (70190725) ; 関口 力 中央大学, 理工学部, 教授 (70055234) ; 松山 善男 中央大学, 理工学部, 教授 (70112753) ; 栗林 あき和 中央大学, 理工学部, 教授 (40055033) ; 岩野 正宏 中央大学, 理工学部, 教授 (70087013)
• Keywords: 粘性解 / 非線形偏微分方程式 / 楕円型方程式 / 放物型方程式 / ベルマン方程式 / 最適制御 / 微分ゲーム

Research Abstract

非線形楕円型及び放物型偏微分方程式に対する粘性解の存在、一意性及びその応用について研究を行った。これまでに得られている結果の検討を行い、各地の専門研究者との研究打ち合せを行い、さらに関連ある研究会等に参加しながら研究を進めた。具体的な研究経過としては、関数微分方程式に対する粘性解の存在、一意性の研究を行った。impulsive control optimal switching等の最適制御問題に対するダイナミック・プログラミング方程式は単調性を持つ関数微分方程式となるが、この型の関数微分方程式に対する粘性解の一意存在の一般論を作った。次に行った研究では、線形退化楕円型及び放物型方程式に対する超関数解と粘性解の概念の同等性について調べた。係数に対する適当な滑らかさの仮定の下で、同等であるという結果が得られた。次に界面の時間発展の問題を研究した。レベル集合として界面をとらえることにより、退化放物型方程式に対する初期値問題となる。さらにこの放物型方程式は空間微分の変数について特異性を持つ。原点でのこの特異性が大きい場合に、粘性解の定義を少し変更することにより、解の存在、一意性が成立するという結果を得た。また、特異性が原点以外に現れる場合に、適当なテスト関数を構成することにより、解の存在、一意性を証明した。最後に偏微分方程式または確率偏微分方程式で記述される系の制御及び微分ゲームに関連した2階楕円型方程式を考察し、無限次元空間上の新しい粘性解の概念を導入し、その一意性と存在に関する一般的な結果を得た。さらに、関連した研究集会「非線形偏微分方程式研究会」を平成5年1月22日、23日の両日に開催した。

Research Products

• [Publications] 石井 仁司: "Fully nonlinear ofligue derivative problems for nonlinear second-order elliptic PDE's" Duke Math,J.62. 633-661 (1991)
• [Publications] 石井 仁司: "Perrons method for monotone systems of second-order elliptic PDE's" Integral and Differential Egs. 5. 1-24 (1992)
• [Publications] 石井 仁司: "Viscosity solutions for a class of Hamilton-Jacobi equations in Hilbert spaces" J.Func.Anal.105. 301-341 (1992)
• [Publications] M.G.Crandall: "User's guide to vistosity solutions of second order partial differential equations" Bull.Amer.Math.Soc.27. 1-67 (1992)
• [Publications] 石井 仁司: "Viscosity solutions of functional differential equations" Adv.Muth.Sci.Appl.