ディオファンタス近似論とその周辺

1992 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 04640250
• Research Institution: Tsuda College
• Principal Investigator: 伊藤 俊次 津田塾大学, 学芸学部数学科, 教授 (30055321)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 大槻 真 津田塾大学, 学芸学部数学科, 教授 (20110348) ; 丹羽 敏雄 津田塾大学, 学芸学部数学科, 教授 (70025419) ; 田中 茂 津田塾大学, 学芸学部数学科, 教授 (70055317) ; 笠原 幹吉 津田塾大学, 学芸学部数学科, 教授 (40012330)
• Keywords: ディオファンタス近似 / アルゴリズム / フラクタル / エルゴード理論

Research Abstract

多次元連分数変換のうちJacobi-Perronアルゴリズムを用いて,平面の平行四辺形(3種)による準周期的タイリングの構成方法が,伊藤;大槻によって成功した。
類似のアルゴリズムによって,上記の構成法を正規化することが出来,平面上のコラクタル境界をもつ領域(〓^2と同相)が構成出来,さらに その領域上のDomain exchangeと呼ばれる力学系(フラクタル領域上の力学系)で〓^2上の準周期運動と同型なものが構成出来ることが分かった。
はじめ,上に述べた力学系の構成は,アルゴリズムが周期的なものについて構成出来たが,のちそれは非周期的なものさらにはalmost everywhereな数について構成出来ることが分かった。周期的なものから非周期的なものへの飛躍への手掛りは,伊藤・大槻・Keaneによって昨 得られた結果:Modified Jacobi-Perronアルゴリズムでは,あるδ>οが存在して殆んど全ての(α,β)はgnを近似分母とするときgn^<1+8>のオーターで同時近似出来る,この結果は同似近似論からみても深い結果と思われる,を行いて非周期的の場合に成功した。
現在はこれら研究,主にタイリングの構成法,がディオファンタス近似論として何を発見したことになるのかを言葉化することに主眼がおかれている。

Research Products

• [Publications] 伊藤 俊次: "Modified Jacobi-Perron algorithm and Generating Markov partitions for special hyperbolic toral automorphisms" Tokyo Journal of Mathematics. (1993)
• [Publications] 伊藤 俊次: "Parallerogram tilings and Jacobi-Perron algorithm" Tokyo Journal of Mathmematics. (1993)
• [Publications] 伊藤 俊次: "Almost enerywhere exponential convergence of the Modified Jacobi-Perron algorithm" Ergodic theorey and Dynamicol System. (1993)