| Research Abstract |
P(ω)/fin上のgaps,特にdestructible gapsに関する研究を行った。Destructible gapsは,実数直線の特徴づけに関するSuslinによる問題と同類の特徴づけを持っており,いくつかの同類の結果がすでに知られていた。
Destructible gapsは次のような特徴づけを持つ:(ω_1,ω_1)-gap<a_α,b_α;α∈ω_1>で,a_α∩b_α=φが成り立っているとする。S,Fを,S={α∈ω_1;a_α∩b_α=φ},F={α∈ω_1;a_α∩b_α≠φ},順序は包含関係の逆の順序,という強制概念とする。このとき,gap<a_α,b_α;α∈ω_1>がdestructible gapであることと,S,Fの両方がcountable chain conditionを持つことは同等である。Suslin treeとは,非可算なpairwise compatible setもpairwise incompatible setも持たないω_1-treeのことであるが,可算なordinal αに対してcompatibleであることをa_α∩b_α=φと定義すると,destructible gapはSuslin treeのanalogyになっている。
研究代表者は,destructible gapに関するMoore-Hrusak-Dzamonjaの質問に答えた。
Brendleは,meager idealのcofinalityの値がN_1かつ〓が成り立つとき,Suslin treeが存在することを,宮元はmeager idealのcovering numberの値がN1かつ〓が成り立つとき,Suslin treeが存在することを証明しているが,研究代表者は両方の仮定とも,destructible gapの存在を導くことを証明した。
また,強制概念Sについての考察を行うことにより,Paul Larsonが導いたSuslin treeに関する主張のdestructible gapに関するanalogyを導いた。
以上の結果をそれぞれ掲載した論文: (1) The diamond principle for the uniformity of the meager ideal implies the existence of a destructible gap, (2) Combinatorial principles on ω_1, cardinal invariants of the meager ideal and destructible gaps, (3) Independent families of destructible gapsの3編を作成し,(1)は掲載が決定され,(2)と(3)はそれぞれ現在査読中である。
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