微分幾何学と情報幾何学

1993 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 05302003
• Research Institution: Yamaguchi University
• Principal Investigator: 志磨 裕彦 山口大学, 理学部, 教授 (70028182)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 中内 伸光 山口大学, 理学部, 助手 (50180237) ; 井上 透 山口大学, 理学部, 教授 (00034728) ; 内藤 博夫 山口大学, 理学部, 助教授 (10127772)
• Keywords: 双対接続 / 情報幾何学 / Hessian多様体 / コントラスト関数

Research Abstract

甘利は確率分布族の空間が不変な幾何学構造として双対接続を持つことを発見し、情報幾何学の必要性を提唱した。これは双対接続を持った多様体上での情報理論の研究である。一方、この双対接続の概念はBlaschke流のアフィン微分幾何学においても見出されていた。また、志磨は、Kahlerian多様体との関連においてHessiann多様体の概念を得ていたが、これはまさに平担な双対接続を持った多様体のことである。このように双対接続は純粋数学上、また応用上も重要な概念であり、これを共通のキーワードにして、微分幾何学と情報幾何学の境界領域を総合的に研究することを目的とした「幾何学シンポジウム」を開催した。会期は4日間で、18件の招待講演の他、参加者全員による自由な討論と情報交換が行われた。その結果は「幾何学シンポジウム講演記録」として印刷され冊子にまとめられた。
甘利は情報幾何学の統計学、システム理論、ニューラルネットワーク、統計物理学、量子観測、可積分力学系等への応用の可能性を示唆し、江口はコントラスト関数を定義し、それから双対接続が得られることを示したが、松本は逆に双対接続からコントラスト関数を構成した。黒瀬は双対接続が定曲率のとき自然なコントラスト関数(ダイバージェンス)を定め、Pythagoras型の定理を証明した。志磨はHessian曲率が一定のHessian多様体を構成し、これらが、確率分布族として実現されることを示した。野口は双対接続とLevi-Civita接続が一致するための条件を考察し、長岡は古典・量子Cramer-Rao不等式の微分幾何学を展開し、江口は相対エントロピーと数理進化について論じた。その他、長野、金行等による対称空間論や、いくつかの興味あるトピックスに関して研究発表が行われた。

Research Products

• [Publications] H.Shima: "Level surfaces of non-degenerate functions in TR^n" Geometriae Dedicata. (to appear).
• [Publications] H.Naitoh: "Compact simple Lie algebras with two involutions and submanifolds of compact symmetric spaces I and II" Osaka Journal of Mathematics. (to appear).
• [Publications] N.Nakauchi: "A remark on p-harmonic maps" Nonlinear Analysis. (to appear).
• [Publications] T.Kurose: "On the divergence of 1-conformally flat statistical manifolds" Tohoku Mathematical Journal. (to appear).
• [Publications] S.Eguchi: "Further discussion on second-order efficiency for estimation" Questio. 46. (1994)