非線形微分方程式の解の構造の研究

1993 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 05740077
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: 長澤 壮之 東北大学, 理学部, 助教授 (70202223)
• Keywords: 変分問題 / 自由境界 / 離散的勾配流 / 熱方程式 / 一意性 / Widderの定理 / 解の爆発 / Kneserの定理

Research Abstract

研究の内容は大きくわけて、2つある。一方は自由境界を伴う汎関数に対する変分問題に関するものであり、もう一方は非線形熱方程式の解の構造に関するものである。
1.自由境界を伴う汎関数に対する変分問題に、離散的勾配流という概念を導入し、停留点の存在問題に適用してみた。離散的勾配流とは、勾配流を時間方向に差分化したもので、それ自身変分法を用いて定義される。ここでは、必ずしも最小点とは限らない停留点に収束する離散的勾配流の存在が示された。また、離散的パラメーターを0に近づけたときの勾配流の漸近挙動について論じ、それが部分例に沿って収束する事を示した。
2.熱方程式の初期値問題の解の一意性について、従来から知らているTychonoff,Widder,Li,Dodziuk,Li-Karpらの諸結果を、特別な場合として含む結果を得た。応用として、調和写像に対する勾配流の一意性を示す事ができる。
また、非線形境界条件を伴った熱方程式の初期値境界値問題の解の爆発について、従来から知られている結果よりも、仮定をゆるめた定理を示した。またその証明も、これまでのものよりもはるかに容易で、なおかつ爆発時刻の上からの評価も得られる。
更に、解の一意性の無いある半線形熱方程式の解の集合の構造を調べた。これまでに、解の集合が連結であるという、常微分方程式論のKneserの定理に相当するものが知られていた。ここでは、与えられた熱方程式の解は、ある常微分方程式の解でもある事を示し、議論を容易にした。

Research Products

• [Publications] Takeyuki Nagasawa: "Discrete Morse semiflows of a functional with free boundary" Advances in Mathematical Sciences and Applications. 2. 147-187 (1993)
• [Publications] Takeyuki Nagasawa: "Uniqueness and Widder's theorems for the heat equation on Riemannian manifolds" Geometry and Its Applications. 161-173 (1993)
• [Publications] Takeyuki Nagasawa: "An elementary proof of the blow-up phenomena for the heat equation with nonlinear bounbary conditions" Nonlinear Partial Differential Equations. 197-204 (1993)
• [Publications] Takeyuki Nagasawa: "Discrete Morse semiflows and their convergence of a functional with free boundary" Nonlinear Partial Differential Equations. 205-213 (1993)
• [Publications] Takeyuki Nagasawa: "The set of solutions for certain semilinear heat equations" Tohoku Mathematical Journal (2). (発表予定).