複素多様体の研究-Calabi-Yau 3 foldsの素Mirror変換

1994 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 06221201
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: 中村 郁 北海道大学, 理学部, 教授 (50022687)
• Keywords: 複素多様体 / 3次超曲面 / Mirror多様体 / Mirror変換

Research Abstract

3次元の3次超曲面と位相同型な3次元Moishezon多様体がC^3_1正のもとでの分類。
特異点を持つ3次超曲面のなかにsmall resolution(すなわち余次元2の例外集合しか持たない特異点解消)を持つものがある。これらをまとめて3次の3次元多様体(cubic 3-fold)と呼ぶ。
(1)cubic 3-foldと位相同型であるがcubic 3-foldでないものがあるが全て具体的に記述できる。
(2)b_2=1のcubic 3-foldに対しては0【less than or equal】b_3【less than or equal】10,(b_3:even)となる。特に特異点を持たない3次超曲面はb_2=1,b_3=10。
(3)b_2=1,2【less than or equal】b_3【less than or equal】10,C^3_1【greater than or equal】1またはb_2=1,b_3=0の条件のもとでcubic 3-foldと位相同型となるMoishezon3-foldはcubic 3-foldまたは(1)の3-foldと同型。
cubic-3-folds(1^5理論)のb_2,b_3は次のようになる。
b_2 b_3
1 10,8,6,4,2,0
2 4,2,0
3 2,0
4【less than or equal】b_2【less than or eq
Calabi-Yau 3-fold Xをtarget spaceとしたN=2 supersymetric nonlinear sigma modelはmirror変換によってそのMirror partnerYの幾何をも記述する。mirror変換によって同型H^<11>(X)【similar or equal】H^<21>(Y),H^<11>(Y)【similar or equal】H^<21>(X)が引き起こされる。Eguchiらによれば、同一のnonlinear sigma modelはh^<11>(X^1)=h^<11>(X^1)+k,h^<21>(X^1)=h^<21>(X^1)-kとなる中間的なpartnerX^1を持つと予想される。cubi3-foldsで言えば(b_2,b_3)=(1,6)→(2,4)→(3,2)→(4,0)がその中間的partnerを実現していると考えられる。Calabi-Yau 3-foldsでも同様のことがあるが、これを繰り返してMirrorにまで行き着くかはまだ確認されていない。

Research Products

• [Publications] Iku Nakamura: "Moishezon-Fano three folds of index three" Jour.Faculty of Science,University of Tokyo. 40. 429-449 (1993)
• [Publications] Iku Nakamura: "Moishezon Fourfolds homeonorphic to Q^4_C" Osaka Jour.Mathematics. 31. 1-43 (1994)