周期写像の研究

1994 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 06221249
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 佐竹 郁夫 大阪大学, 理学部, 助手 (80243161)
• Keywords: 単純楕円型特異点 / 周期写像 / フラット構造 / ヤコビ型式 / アフィンリー環

Research Abstract

単純楕円型特異点の普遍変形として得られるアフィン代数多様体の族に対して、原始型式を1つ固定して得られる周期写像の逆写像を、フラット構造を用いて具体的に求める問題,を扱っている。
これは結局、楕円ルート系の枠内で、フラット不変式を構成する問題に帰着するが、Jacobi formによる不変式環の主定理がある場合(G_2,D_4,F_4,E_6,E_7)について、フラット不変式をJacobi formで表示する一般的なアルゴリズムを確立した。
この結果を得るために、ラプラス作用素のJacobi formへの作用を(cusp formをmoduloして)求めているので、これからフラット不変式へのラプラス作用素の作用を求めることができる。これより、フラット不変式から(定数倍を除いて)標準的に定まる基本反不変式Θ_Aへのラプラス作用素の作用もわかる。
するとaffine Lie algebraのWerlの分母公式に現れる反不変式Θ^^〜_Aへのラプラス作用素の作用は自明であるから、Θ_AとΘ^^〜_Aの関係を書き下すことができ、Θ_Aのテ-タ級数及び無限積表示が得られる。一方、レベルを決めた時、affine Lie algebraの指標の張る有限次元線形空間は、Θ^^〜_Aを掛けてラプラス作用素を作用させた時に0になるものとして特徴づけられるから、(フラッット不変式)×Θ^^〜_Aへのラプラス作用素の作用を決定してleading termを見ることにより、指標との関連を決定できる
これらについての理論的な枠組を構成した。