無限次元空間上の対称性をもつ微分作用素の総合的研究

1995 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 06452014
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 楠岡 成雄 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (00114463)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 提 誉志雄 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (10180027) ; 長田 博文 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (20177207) ; 片岡 清臣 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (60107688) ; 松本 幸夫 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (20011637) ; 俣野 博 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (40126165)
• Keywords: ウィナー測度 / ウィナー多様体 / 無限次元解析 / 確率解析 / スケルトン

Research Abstract

本研究は無限次元空間上の微分作用素で、特に対称性を持つものに付いての研究が課題であった。進展があった主なものは複素ウィナー空間の正則関数の確率解析の立場からの研究及び境界条件を持つ熱方程式の漸近挙動に関する研究であった。
複素ウィナー空間上の正則関数の研究はこれまでも色々な研究があったが、それらのほとんどは全域で定義された正則関数を取り扱っていた。しかし、それでは正則性が本来局所的な性質であることの意味が十分理解でない。また、本研究の主眼の一つである、ウィナー多様体上の解析に問題を広げていく上にも概念の局所化が必要である。正則性の概念の局所化及びスケルトンの概念の局所化についての研究が今回の研究によりかなり進展した。正則関数のスケルトンとは、与えられた正則関数に対応する、ウィナー構造に付随したヒルベルト空間の上の正則関数のことをいう。全域で定義されている正則関数に対しては九州大学の杉田氏によりスケルトンの存在と性質が調べられていたが、部分領域で定義されている正則関数については何も結果がなかった。今回の研究では、部分領域が十分性質のよい関数の正領域として与えられているという、まだ十分一般的でない場合においてではあるが、スケルトンの存在及び正則関数とスケルトンの対応がとその対応が1対1であることが示された。これと従来の結果を組み合わせると、この部分領域上のドルボーコホモロジーとスケルトンの作る層のコホモロジーとが一致していることが示される。この結果は無限次元空間上の複素解析において重要な役割を果たすと考えられる。
また、凸集合の外部領域の上の熱方程式の基本解の漸近挙動について、境界条件がノイマン及びディリクレ条件の場合にそれぞれ従来に走られていなかった詳しい評価式が得られた。これも、熱方程式を無限次元空間上の測度により表現しその対称性に着目することによりうることができた。当初、研究の課題としていなかったことであるが、研究の副産物としてうることができた。

Research Products

• [Publications] 楠岡成雄: "Limit theorem on option replication with transaction costs" Annals of Applied Probability. 5. 198-221 (1995)
• [Publications] 楠岡成雄(池田信行): "Short time asymptotics for fundamental solutions of heat equations" Proc.Taniguchi Conf.(発表予定).
• [Publications] 長田博文: "An invariance principle for non-symmetric Markor processes and reflecting diffusions in random domains" Prob.Theory and Related Fields. 101. 45-63 (1995)
• [Publications] 長田博文: "Self-similar diffusions on a class of infinited ramified fractals" Journal of Mathematical Society Japan. 47. 591-616 (1995)
• [Publications] 提誉志雄: "Global existence and uniqueness of enegy solutions for the Maxwell-Schrodinger equations" Hokkaido Mathematical Journal. 24. 617-639 (1995)
• [Publications] 提誉志雄(小沢徹): "Normal form and global solutions for the Klein-Gordon-Zakharov equations" Annales de I'Institut Henri Poincare. 12. 459-503 (1995)
• [Publications] 楠岡成雄: "確率・統計" 森北出版, 102 (1995)