複素平面上の有理型函数及び代数型函数の値分布

1994 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 06640219
• Research Institution: Kanazawa University
• Principal Investigator: 藤解 和也 金沢大学, 工学部, 助手 (30260558)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 井上 克巳 金沢大学, 医療技術短期大学部, 助教授 (00176421) ; 奥村 善英 金沢大学, 工学部, 助手 (90214080) ; 谷川 明夫 金沢大学, 工学部, 講師 (00163618) ; 佐藤 卓治 金沢大学, 工学部, 助教授 (30019781) ; 新濃 清志 金沢大学, 工学部, 教授 (50016052)
• Keywords: 有理型函数 / Nevanlinna理論 / Hayman予想 / 零点分布 / 値共有問題 / 代数型函数 / 代数型面 / Picard定数

Research Abstract

本研究の当初の目的の一つが、いわゆるHaymanの予想の解決であった。即ち、複素平面上の有理型函数fとその二階導函数f″が零点を持たないとき、対数的導函数f′/fの逆数は高々一次多項式に帰着される(このとき、f(z)=f_<exc>(z):=exp(Az+B)または(Az+B)^<-n>,A,B∈C,n∈N)ことの証明である。30年間以上も未解決であったこの予想は、しかしながら本研究を開始して間もなく、J.K.Langley氏により完全に解決された。それ故、導函数の零点が有する特異性を別な方向から論ずるべく、Haymanの予想とも密接に関連する次の問題の考察が研究目的となった:有理型函数fの零点分布とその各k階導函数f^<(k)>(n【greater than or equal】k【greater than or equal】1)の零点分布が不変と
仮定したn=3、或はn=2かつfの零点の収束指数有限条件のもとで、得られたこの問題の解はf=f_<exc>である。これにより、f_<exc>を除けばどの函数も高階導函数の零点分布が特異ではないことを、本研究で確かめたと考える。
第二の研究目的は、n価代数型面のPicard定数に関するOzawa‐Sawadaの定理の拡張であった。Picard定数の最大値2nそして2n-1をもつn価代数型面S(n=3,4)をそれぞれ特徴付けるため、Ozawa‐Sawadaはその面の位数が有限、即ちSを定義するn価整代数型函数yの位数が有限であることを仮定した。
本研究では、複素平面上の有理型函数に関して得た結果を応用して、n=3のときにSawada‐Tohgeが、n=4の場合にNiino‐Tohgeがそれぞれ別の手法を用いて、位数有限性の仮定を取り除くことに成功した。特にNiino‐Tohgeが用いた手法は、一般のn(【greater than or equal】3)に対しても適用可能であり、今後の研究に寄与する処は少

Research Products

• [Publications] Kazunari Sawada: "A remark on three‐sheeted algebroid surfaces whose Picard constants are five" Kodai Mathematical Journal. (発表予定).
• [Publications] Kazuya Tohge: "Meromorphic functions which share the value zero with their first two derivatives" Complex Variables Theory and Application. (発表予定).
• [Publications] Yoshihide Okumura: "Grobal real analytic length parameters and angle parameters for Teichmuller spaces and the geometry of hyperbolic transformations" 京都大学数理解析研究所講究録(Complex Analysis on Hyperbolic 3‐Manifolds). 882. 77-88 (1994)
• [Publications] Yoshihide Okumura: "Grobal real analytic length parameters for Teichmuller spaces" Hiroshima Mathematical Journal. 26(発表予定). (1996)
• [Publications] Kiyoshi Niino: "Some functional equations and Picard constants of algebroid surfaces" Journal of the Mathematical Society of Japan. 48(発表予定). (1996)