位相的場の理論を用いた3次元多様体及び結び目の研究

1994 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 06740074
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 横田 佳之 九州大学, 大学院・数理学研究科, 講師 (40240197)
• Keywords: 三次元多様体(3-manifold) / 結び目(knot) / グラフ(graph) / 量子不変量(quantum invariant) / 橋指数(bridge number) / 隧道数(tunnel number)

Research Abstract

当該年度の研究成果は以下のとおりである。
まず最初に、Temperley-Lieb代数の表現論を用いることによって、Moore-Seiberg等が与えた2+1次元の位相的場の理論を、初等的かつ発見的に展開することに成功した。すなわち、点付きRiemann面に対応する有限次元Hilbert空間とその正規直交基底を、Temperley-Lieb代数のminimal idempotentsを用いて構成し、Riemann面の写像類群の作用を極めて直観的かつ幾何的に説明した。同時に三次元多様体内の結び目に対する量子SU(2)不変量をこれら写像類群の作用と有限次元Hilbert空間の内積の言葉で記述した。
上述の成果より得られる帰結として、以下の二つを挙げることができる。まず一つは、量子SU(2)不変量の絶対値を使って三次元多様体内の結び目の橋指数の評価を行い、Moriah-Rubinsteinによって最近解決された結び目の隧道数の加法性に関する予想の、具体例による別証を与えた。また、Walker、Kohnoによって与えられた三次元多様体のHeegaard種数・結び目の隧道数の評価を、ホモロジー球面に対して精密化することに成功した。もう一つは、三次元空間内に埋め込まれた三分岐グラフに対するYamada不変量を任意のグラフに対して拡張したことで、一般のグラフの埋め込みに特有の、微妙な違いを判定でき、しかも計算可能である点において画期的である。またその応用として、結び目の対称性から得られるグラフの橋指数を不変量の絶対値を使って評価し、もとの結び目が隧道数1を持つかどうかの判定が飛躍的に容易になった。

Research Products

• [Publications] Y.Yokota: "On quantum SU (2) invariants and generalized bridge numbers of knots" Math.Proc.Cambridge Phil.Soc.(to appear).
• [Publications] Y.Yokota: "Topological invariants of graphs in 3-space" Topology. (to appear).
• [Publications] Y.Yokota: "The Kauffman polynomial of alternating links" Topology and its appl.(to appear).
• [Publications] K.Morimoto,M.Sakuma,Y.Yokota: "Examples of tunnel number one knots which have the property “1+1=3"" Math.Proc.Cambridge Phil.Soc.(to appear).