1994 Fiscal Year Annual Research Report
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06804008
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Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
杉江 実郎 信州大学, 理学部, 助教授 (40196720)
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| Keywords | 常微分方程式 / 関数微分方程式 / 定性的理論 / リエナ-ル方程式 / 周期解 / セパラトリックス / リミットサイクル |
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| Research Abstract |
最近の計算機・プリンターの進歩は著しく、数年前には一日掛かりで描いた微分方程式の解軌道図が、ほんの数分間で完成するようになった。平成6年度の科研費で購入した設備により、正確な解軌道図が迅速に得られるようになった。勿論、大量に解軌道図を描いただけで研究目的が達成される訳ではないが、予想を立てたり、証明の方針を決定するには非常に役立っている。
リエナ-ル方程式を研究するとき、すべての解軌道が1.原点に漸近するか否か、2.特性曲線と呼ばれるものに変わるか否かを調べることが重要な課題となる。この2つのことが決定されれば、周期解やセパラトリックス(周期解とそれ以外の解を分離する役割を果たす特殊な解)が存在するのか存在しないのかが判明し、解の振動性や周期性に関する種々の結果を導くことができる。この点に着目し、国内外の幾人かの研究者がこの問題に取り組み、部分的な解答が与えられた。しかし、ある場合については軌道解が特性曲線に交わるための条件は求められていなかった。本研究により、従来の結果を含む、すべての場合に適用できる必要十分条件を与えることができた。この問題を考える過程で、その副産物として、セパラトリックスの性質が明確になってきた。どのような場合にセパラトリックスが現れ、逆に消えるのかが判明した。セパラトリックスのこの性質により、リエナ-ル方程式を幾つかのタイプに分けることができた。以上の研究内容は本研究目的(iii)に対応するものであり、裏面に挙げた論文としてまとめ、それぞれ掲載決定済となった。また、研究目的(ii),(v)に関する結果もそれぞれ投稿中である。更に、捕食者・被食者モデルを表現する微分方程式は変数変換等を行えば、リエナ-ル方程式に書き直せる。この事実と上記の結果を利用して、研究目的(iv)を達成することも可能である。
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[Publications] Jitsuro Sugie: "Classification of Global Phase Portraits of System of Lienard Type" Journal of Mathematical Analysis and Applications. (発売予定).
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[Publications] Tadayuki Hara: "When All Trajectories in the Lienard Plane Cross the Vertical Isocline?" Nonlinear Differential Equations and Applications. (発売予定).
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[Publications] Tadayuki Hara: "When All Trajectories of a Periodically forced Lienard System Rotate Around the Origin?" Proceeding of International Conference of Dynamical Systems and Chaos. (発売予定).
