高次元代数多様体の研究

1996 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 07454004
• Research Institution: the University of Tokyo
• Principal Investigator: 川又 雄二郎 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (90126037)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 中村 博昭 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助手 (60217883) ; 斎藤 毅 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (70201506) ; 織田 孝幸 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (10109415) ; 桂 利行 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (40108444)
• Keywords: カラビ・ヤウ / 極小モデル / 数値的同値 / 豊富因子の錘体 / 可動因子

Research Abstract

カラビ・ヤウ・ファイバー空間の上の因子たちの作る錘体の研究をした.極小モデル予想によれば,任意の代数多様体に対して適当な双有理モデルとそこからの代数的ファイバー空間とが存在して、標準因子が底空間の豊富因子のひき戻しとして書き表されるようにできると思われる(この予想は3次元ではすでに証明されている).このような代数的ファイバー空間がカラビ・ヤウ・ファイバー空間であり,最近理論物理学で注目を浴びているカラビ・ヤウ多様体の一般化にあたる.
この研究では,多様体が3次元の場合にその上の因子たちの数値的同値類を底空間に対して相対的に考察する.同値類全体は有限次元実ベクトル空間を成すが,その中で豊富因子,可動因子,巨大な因子たちがそれぞれ作る錘体が重要である.豊富因子の錘体の面は多様体の双有理収縮写像やファイバー空間の構造に対応し,可動因子の錘の豊富因子の錘たちへの分割は双有理同値な異なる極小モデルたちに対応する.
モリソンはミラー対称性予想をもとに次のような予想をたてた:豊富因子の錘の面は双正則自己同型群の作用のもとで有限個の同値類に分かれ,可動因子の錘は双有理自己同型群の作用のもとで有限個の錘体の同値類に分割される.これらの錘体については,10年ほど前にで研究したことがある.今年の研究ではまずマーク付き極小モデルの概念を導入し,まず巨大因子の錘の内部での有限性定理を証明した.そして主定理として底空間が一点にならない場合に予想を証明した.系として次の結果を得た:小平次元が正の3次元代数多様体は同型を除いてたかだか有限個の極小モデルを持つ.

Research Products

• [Publications] 川又雄二郎: "On Fujita's freeness conjecture for 3-folds and 4-folds" Mathematische Annalen. (予定). (1997)
• [Publications] 川又雄二郎: "Subadjunction of log canonical divisors for asubvariety of codimension 2" Contemporary Mathematics. (予定). (1997)
• [Publications] 川又雄二郎: "Divisorial Contractions to 3-dimensional terminal guotient singularities" Higher Dimensional Complex Variefies. 241-246 (1996)