楕円曲線とArithmetic Geometryの研究・応用

1995 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 07640065
• Research Institution: Osaka Prefecture University
• Principal Investigator: 石井 伸郎 大阪府立大学, 総合科学部, 教授 (30079024)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 山口 睦 大阪府立大学, 総合科学部, 助教授 (80182426) ; 今野 泰子 大阪府立大学, 総合科学部, 助教授 (70028231) ; 米田 薫 大阪府立大学, 総合科学部, 教授 (80079029) ; 岡野 初男 大阪府立大学, 総合科学部, 教授 (40079033) ; 高橋 哲也 大阪府立大学, 総合科学部, 講師 (20212011)
• Keywords: Arithmetic Geometry / 楕円曲線 / modular curve / cuspidal表現 / 定義方程式 / コンダクター / elliptic cohomology / torsion molecule

Research Abstract

以前の研究で,素数レベルの主合同分群Γ(P)に付随する保型関数体ではKlein formから構成される保型関数X_2(τ),X_3(τ)で生成されることを示し,P=7,11のときにX_3(τ)は環Z[X_2(τ)]上整なることを得た。この事実はすべてのPに対して成立することを予想していた。本研究のmodular曲線のヤコビアンの研究分野では,この予想を証明した。これからΓ(P)に付随するmodular曲線X(P)の整係数特異モデルの方程式が得られる。X(P)の有理点はある種の楕円曲線のmoduli spaceとみなせるので,得られた方程式の性質を調べることにより,楕円曲線のArithmeticは性質が分かる。この結果は現在投稿中である。引き続き,この方程式の特異点,ある位置に現われる特別な性質をもった係数の意味,素数を法としたreductionの様子等を調べるために,これらを計算するalgorithm,programを作製,改良を行い,X(P)の研究を行っている。又素数コンダクターをもつ有理数体上の楕円曲線,Hecke群Γ_0(P)のJacobianから出てくる低次元アーベル多様体についてのデータを得るために,Mestreのグラフメソードに基づくアルゴリズムを数式処理システム“pans"上でプログラム化し,できるだけ大なる素数の範囲まで調べている。これに関連し,L-関数と保型関数の研究では,標数2の局所体上のGL_2のsuper-cuspidal表現の指標を完全決定する成果を挙げた。特にレベルが2巾なるcusp formsへのヘッケ作用素の作用が完全にわかる。elliptic cohomologyについての研究では,elliptic cohomologyのcohomology作用素の双対概念であるhomology作用素を表現するgroupoidについての一結果,及びHopf空間の一種であるHarper torsion moleculeの,elliptic comohologyを支配するコボルリズムに関するHurwitzの準同型を完全に決定する等の結果を得た。

Research Products

• [Publications] 米田薫: "Uniqueness for non-harmonic trigonometric series" Proc.Amer.Math.Soc.(to apper).
• [Publications] 山口睦: "The structure of the Hopt algebroid associated with the elliptic homology theory" Osaka J.of Math.33(to appear).
• [Publications] 山口睦: "On Harper's torsion molecule" Math.J.of Okayama. (to appear).
• [Publications] 高橋哲也: "Character Formula for Representations of Local Quaternion Algebras" J.of Math.of Kyoto Univ.(to appear).