多様体上の諸構造と不変量

1995 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 07640099
• Research Institution: Tokyo Institute of Technology
• Principal Investigator: 増田 一男 東京工業大学, 理学部, 助教授 (20016158)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 大鹿 健一 東京工業大学, 理学部, 助教授 (70183225) ; 二木 昭人 東京工業大学, 理学部, 助教授 (90143247) ; 志賀 啓成 東京工業大学, 理学部, 助教授 (10154189) ; 丹野 修吉 東京工業大学, 理学部, 教授 (10004293) ; 森田 茂之 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (70011674)
• Keywords: オイラー・ポアンカレ標数 / 曲率作用表 / 調和形式 / Reidemeister torsion / Floer ホモロジー / Lagrange 部分多様体 / Godbillon-Vey 不変量 / Milnor-Wood 不等式

Research Abstract

多様体の古典的不変量であるオイラー・ポアンカレ標数に関するホップ予想は、リーマン多様体の曲率とオイラー・ポアンカレ標数との関係を述べたものであるが、これに関しコンパクト局所対称空間の場合に、第1種と第2種の曲率作用素のトレースとスカラー曲率の間にある種の不等式が成り立てばオイラーポアンカレ標数が正になることが証明された。また特性類に重要な調和形式に関して、E^5の中の向き付け可能な完備極小超曲面が安定ならば、L^2調和P形式(0【less than or equal】P【less than or equal】4)は0となることが示された。これはBernstein予想に関するds Carmo-Pengの2次元での結果の4次元版である。Reictemeister torsionは3次元多様体の重要な不変量であるが、多くの具体的多様体に対して計算された。又色々な不変量を導くFloerホモロジーに使われるLagrange部分多様体の新しい例が非自明バンドルの接続のmoduliを用いて構成されたが、その応用は今後の課題である。3次元多様体の葉層構造の不変量として最初に発見されたGodbillon-Vey不変量が位相不変かという問題は未解決であるが、C^1不変であるというRalyの結果が高次の不変量にも拡張された。又C^<1+2>,P.L,葉層の場合に種々に拡張されたdiscrete Godbillon-Vey不変量を計算するためのsurgery公式も作られた。2次元曲面上のS^1foloatedバンドルの存在の条件は曲面のオイラー数とバンドルのオイラー特性類に関するMilnor-Woodの不等式で与えられるが、低空間を3次元多様体にした場合が考察され、一般的には、微分可能性が影響することが示され、微妙な問題であることがわかった。

Research Products

• [Publications] Shukichi Tanno: "Euler Poincure charateristic of 8 dim locally supmmotric spaces" Kyushu Journ. Math.49. 321-330 (1995)
• [Publications] Shukichi Tanno: "L^2 harmonir forms and stability of minimal hypersurfaces" Journ. Math. Soc. Japan. (to appear).
• [Publications] Hiroshige Shiga: "On the monodromies of harmonie famileis of Piemann surfaces" TITMATH Preprint. (1995)
• [Publications] K.Matsuzaki & H.Shiga: "Conformal conjugation of Fuchsian groups" J.reine angew. Math.(to appear). (1996)
• [Publications] Akito Futaki & T.Mabuchi: "Bilinean forms and extremal Kahler vector fields assouated with Kahler classo" Math. Arn.301. 199-210 (1995)
• [Publications] Kenichi Ohshika: "Topologically conjugate Kleinian groups" Proc. Amer.(to appear).