1995 Fiscal Year Annual Research Report
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07640105
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
阿部 孝順 信州大学, 理学部, 教授 (30021231)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
神谷 久夫 信州大学, 理学部, 講師 (80020676)
松田 智充 信州大学, 理学部, 助教授 (70020667)
二宮 晏 信州大学, 理学部, 教授 (40092887)
向井 純夫 信州大学, 理学部, 教授 (50029675)
浅田 明 信州大学, 理学部, 教授 (00020652)
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| Keywords | ベクトル場 / 多様体 / リー環 / 正則閉曲線 / 対称空間 |
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| Research Abstract |
この研究の目的は、リーマン多様体M上の可微分ベクトル場のなすリー環の構造から、Mの幾何学的構造を調べることである。ここでは、Mのベクトル場のなすリー環とMの正則閉曲線の集合は互いに密接な関係があることを示し、またこの関係を明確にするために正則閉曲線の集合に同値関係を導入した。この同値類の決定は,一方ではリーマン多様体Mの微分幾何学的性質の研究となり,また他方では可微分ベクトル場のなすリー環の微分位相幾何学的性質の研究となっている。この同値類の幾何学的性質を調べることがこの研究の目的である。
これまでは、まず可微分多様体上の可微分ベクトル場のなすリー環に対して普遍的性質ともつリー環を構成し、これに関連し上記のリーマン多様体上の正則曲線の同値類を導入した。この同値類を決定することは実際Mの曲率テンソルを含む常微分方程式の無限系列の解を求めることに帰着されることが分かる。特にMが射影空間のときは,これらの曲率テンソルはMの基本形式を引き起こす4-fieldで表される。この基本形式はドラムコホモロジー群の生成元を代表しているが,同様のことが一般の対称空間の場合も成立することが期待される。このためには対象とするリーマン多様体Mのドラムコホモロジー群の生成元を代表する微分形式を具体的に表すことが,最初に問題となる。またこのためには,Mの体積を求めることも必要となる。
本年度は対称空間の体積を具体的に計算し論文とした。また複素ケーリ-射影空間の場合に上記の問題を研究したが、その計算は複雑なためにコンピューターを用いて求める方法を見つけ現在最終段階に入っている。この研究は更にケーリ-構造と関連していることも明らかになっていて、この方面について調べることが、次の問題である。
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[Publications] K.Abe: "On G-vector bundles with bracket operations and an algebra with universal mapping property." Nihonkai Math. Jour.6. 25-34 (1995)
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[Publications] K.Abe and I.Yokota: "Volumes of compact symmetric spaces." Tokyo Jour. Math.(受理).
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[Publications] K.Abe and I.Yokota: "Realization of spaces E_6/(U(1)Spin(10),E_7/(U(1)E_6),E_8/(U(1)E_7)and their volumes." Tokyo Jour. Math.(受理).
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[Publications] A.Asada: "Non commutative geometry of GL_p-bundles.New Developments in Differential Geometry" Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai. 66. 1-26 (1995)
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[Publications] J.Mukai: "The element k is not in the image of the S^1-transfer." Math. Jour. Okayama Univ.36. 133-143 (1994)
