Monge-Ampere方程式に対する解の特異性について

1995 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 07640261
• Research Category: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• Research Institution: Kyoto Sangyo University
• Principal Investigator: 辻 幹雄 京都産業大学, 理学部, 教授 (40065876)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 細野 雄三 京都産業大学, 工学部, 教授 (50008877)
• Keywords: Monge-Ampere方程式 / 曲率 / 特異点

Research Abstract

Monge-Ampere方程式は局面論の解析にも現れる為、幾何学的見地からの研究も大変多い。我々は方程式が退化していない場合に、初期値問題について考えた。初期曲線が非特性的であるならば、古典解が局所的に存在することは古典理論の一つである。我々の興味は双曲型の場合に於ける大域論である。大域論の展開が難しい理由は古典解を延長していくと、特異性が現れる為である。我々の主たる目的はその解の特異性の構造を決定することであった。1つの試金石としてDarboux及びGoursatが深く考察した方程式のクラスに対して上記の問題を考察した。この場合は大分満足のいく結果を得ることが出来た。次にその結果を曲面論に応用した。即ち双曲型曲面の特異性の構造を決定することである。その際、問題となったのは「解の特異性」と「解曲面の特異性」との間に差が生じることであった。空間次元=3のとき、その理由を理解できた。この結果を1995年4月から5月にかけてBanach Centre(Warsaw, Poland)に於て開かれた「数理物理学研究会」で発表した。講演ノートは“Publications of Banach Center"に掲載される予定である。更に基本的な問題は「方程式に対してDarboux及びGoursatが置いた仮定を取り除くこと」である。その為には「或る種の1階双曲型方程式系」(単独ではない)を解くことが絶対不可欠であることがやっと判ってきた。これが次の問題である。最初の動機は相対性理論にあった。Einstein方程式は複雑であり、現時点では解の大域的挙動はよく判らない。将来、大域的理論を展開する際、この研究が一つの目安になる事をめざしている。